обхідно, щоб k u > 0. Для виконання нерівності d 3 > 0 потрібно, щоб
В
За будь-яких значеннях передавального числа по куту великих нуля, права частина останнього виразу за модулем буде більше одиниці. Таким чином, межами позитивності коефіцієнтів будуть
В
Від змінюваних параметрів залежить коефіцієнт d n = d 4 і не залежить коефіцієнт d 0 . Тому рівняння k u = 0 одночасно є і аперіодичної кордоном стійкості.
Склавши визначник Гурвіца, для його D n -1 мінору отримаємо
В
Підставимо в цей вираз значення коефіцієнтів d 2 , d 3 , d 4 , як функцій параметрів k u і k w , після перетворень отримаємо квадратне рівняння, що визначає передавальне число по кутовий швидкості як функцію від передавального числа по куту тангажа
В
За цим висловом будується коливальна межа стійкості. Графік розподілу області досліджуваних параметрів на області стійкості і нестійкості зображений на рис. 3.19. p> Кордон коливальної нестійкості штрих у бік позитивності D n -1 - го визначника Гурвіца, а пряма k w z = 0 у бік позитивності цього коефіцієнта.
Для перевірки отриманих результатів виберемо будь - які значення параметрів всередині заштрихованої області, наприклад k u = 5, k w z = 0.6, обчислимо значення коефіцієнтів характеристичного рівняння і оцінимо стійкість замкнутої системи за критерієм Гурвіца. p> Отримаємо, що при вибраних значеннях передавальних чисел система стійка. Це означає, що і вся область, всередину якої звернені штрихи, є областю стійкості.
D - розбиття в площині одного параметра
Нехай нас цікавить вплив якого - або одного параметра на стійкість САУ і цей параметр входить до характеристичне рівняння лінійно, так що це рівняння можна представити у вигляді
(3.30)
Зробивши заміну s = jw, одержимо
(3.31)
Задаючи значення частоти від - ВҐ до + ВҐ, можна побудувати криву m (w), отображающую уявну вісь площині коренів на площину m. Ця межа D - розбиття симетрична щодо дійсної осі. Тому обчислення можна вести в діапазоні частот від 0 до + ВҐ, а потім доповнити отриману криву її дзеркальним відображенням на діапазон частот від - ВҐ до нуля. При русі по уявної осі від - ВҐ до + ВҐ на площині коренів область стійкості залишається зліва. Тому при русі по кривій D - розбиття в бік збільшення частоти її штрихують зліва. Область, всередину якої звернені штрихи, є передбачуваною областю стійкості. Для остаточного рішення, необхідно взяти будь - яке дійсне значення параметра m в досліджуваній області та скористатися будь - яким критерієм стійкості. Якщо при обраному значенні параметра система стійка, то розглянута область є областю стійкості.
Приклад. Побудувати область стійкості системи стабілізації кута тангажу в площині передавального числа k u . p> Характеристичне рівняння досліджуваної системи можна записати у вигляді
В
де
В
В отриманих вираження зробимо заміну s = jw і отримаємо
В В
У цих виразах
Побудована за цим виразами крива D - розбиття показана на рис. 3.20. p> Так як необхідною умовою стійкості розглянутої системи є k u > 0, то уявна вісь також є кордоном стійкості та штрих у бік позитивності k u . Значення цього коефіцієнта, рівне 5, знаходиться всередині заштрихованої області і ми знаємо, що при цьому значенні система стійка. Значить і весь відрізок дійсної осі, розташований усередині заштрихованої області, дає значення передавального числа по куту, при яких система стійка. Можна показати, що закінчення цього відрізка знаходитися в точці, рівній критичного значення коефіцієнта k u = 16.56.
В
D - розбиття в площині двох параметрів
Нехай коефіцієнти характеристичного рівняння лінійно залежать від двох параметрів m і l так, що його можна записати у вигляді
(3.32)
Після заміни s = jw отримаємо
В В
Так як рівність нулю всього перетвореного характеристичного рівняння може виконуватися тільки, якщо одночасно дорівнюють нулю його речова і уявна частини, то одержимо систему рівнянь щодо змінюваних параметрів
(3.33)
Дозволивши систему (3.33) щодо m і l, отримаємо
В
де
В В
Задаючи значення частоти від - ВҐ до + ВҐ, визначимо сукупність точок на площині m - l, утворюють криву D - розбиття. Функції m (w) і l (w) є парними, і тому, при зміні частоти в зазначених вище межах, крива D - розбиття пробігається двічі. При побудові кривої D - розбиття в площині двох параметрів необхідно керуватися наступними п...
