n align="justify"> то єдиними нулями L (s, ? ) при Re s? 0 є полюси тобто точки s = -1, -3, -5, .. .
.1 Теорема Вейєрштрасса про розкладання в твір цілих функцій
Теорема 5.1 . Нехай a 1 , ..., а п , ... - Нескінченна послідовність комплексних чисел, причому
<| a 1 |? | A 1 |? ...? | А n | <...
І lim = 0.
Тоді існує ціла функція G (s), яка має своїми нулями лише числа а п (якщо серед а п є рівні, то нуль G (s) буде мати відповідну кратність).
Слідство 5.1. Нехай послідовність чисел a 1 , ..., а п , ... задовольняє умовам теореми 5.1., і, крім того, існує ціле число р> 0 таке, що сходиться ряд
В
Тоді функція G 1 (s),
В
задовольняє теореме5. 1. p align="justify"> Теорема 5.2. Кожна ціла функція G (s) може бути представлена ​​у вигляді
В
де H (s) - ціла функція, а числа 0, a 1 , a < span align = "justify"> 2 , ..., а ..., - нулі G (s), розташовані в порядку зростання їх модулів. Якщо, крім того, послідовність а n , п = 1,2, ..., задовольняє умовам слідства 5.1., То
В
Доказ. Нулі G (s) не можуть мати граничної точки, тобто їх можна розташувати в порядку зростання модулів. По теоремі 5.1. побудуємо цілу функцію G 1 (s), що має своїми нулями нулі G (s). Вважаючи
при s? a n ,
В
бачимо, що ? ( s) - ціла функція, ніде не рівна нулю, тобто і логарифм ? ( s) - ціла функція. Але тоді ? (
