(х? 1/х) і користуючись (6), знайдемо
В В
Права частина цієї рівності є аналітичною функцією при будь-якому s і, отже, дає аналітичне продовження L (s, ? ) на всю s-площину. Так як Г (s/2)? 0, то L (s ,?) - регулярна всюди функція. Далі, при заміні s на 1 - s і ? на , права частина (10) множиться на , так як ? (- 1) = 1 і, отже, ? (?)? ( ) =? (? ) = k. Звідси отримуємо твердження теореми при ? = 0.
Припустимо, що ? (-1) = -1. Маємо
В
Отже, при Re s> 1
В
Остання рівність дає регулярне продовження L (s, ? ) на всю s-площину; права частина його при заміні s на 1 - s і ? на , множиться на i з огляду на те, що
? (?)? () =-k.
Звідси отримуємо твердження теореми при ? = 1. Теорема доведена.
Слідство. L (s, ? ) - ціла функція; якщо ? (-1) = +1, то єдиними нулями L (s, ? ) при Re s ? 0 є полюси Г , тобто точки s = 0, -2, -4, ...;
якщо ? (-1) = -1, то єдиними нулями L (s, < span align = "justify">? ) при Re s? 0 є полюси Г тобто точки s = -1, -3, -5, .. .
Дирихле тривіальний Вейерштрасс Ріман
В§ 5. Нетривіальні нулі L-функції Діріхле
Тривіальні нулі L-функції Діріхле
? ( s ,?) - ціла функція; якщо ? (-1) = +1, то єдиними нулями L (s, ? ) при Re s? 0 є полюси , т. е. точки s = 0, -2. -4, ...; Якщо ? (-1) = -1,
