тер.
) Нехай тепер - деякий полухарактер. Тоді, тобто br/>
.
Зауважимо, що. Позначимо, тоді. Покладемо,, f неперервна як композиція безперервних функцій (? Неперервна за умовою). Тоді,
В
і ми прийдемо до рівності
,
.
Зауважимо, що. Тоді т., що, звідси випливає, що (f неперервна). Це вірно. Тоді, поклавши, отримаємо:, c = const,. Тоді. p> Повернемося до рівності. Нехай в ньому, тоді при. p> Якщо, то отримуємо рівність.
Тоді т., що, і, отже,
,
Звідки і отримаємо, що.
Для від'ємних значень x проводяться аналогічні міркування.
Отже, ч.т.д.
Зауваження. Якщо | c | = 1 і | a | = 1, то ми отримаємо відповідну теорему для характерів. p align="justify"> 2. ОПЕРАТОРИ Ганкель
.1 Визначення матриці і оператора Ганкеля
Розглянемо перетворення числових послідовностей
,
пов'язане з нескінченною матрицею. Початковий спосіб введення оператора Ганкеля полягає в тому, щоб розглянути спеціальний випадок тих перетворень, у яких кожна з діагоналей, перпендикулярних до головної діагоналі, складається з однакових елементів, тобто для деякої числової послідовності. Це приведе нас до наступного визначення. p> Визначення. Оператором Ганкеля, чинним з одного простору послідовностей X в інше Y,, називається відображення, якому відповідає матриця з елементами
,.
Матриця, елементи якої задаються зазначеним чином, називається матрицею Ганкеля:
.
Зауваження. Ми можемо переписати це умова у вигляді рівності операторів. Визначимо оператор зсуву
В
і його лівий зворотний
.
Розглянемо, де, є природним базисом у просторі числових послідовностей. Тоді - n-ий стовпчик матриці, і збігається з. Тому, наступна проста перестановка на матриці
В
показує, що - оператор Ганкеля тоді і тільки тоді, коли
В
Класичне простір, що розглядається в теорії операторів Ганкеля (і це єдине, яке ми розглянемо тут) - звичайне Гільбертовий простір послідовностей
.
.2 Ганкелеви оператори в просторах Харді
Розглянемо відображення
,
де - простір Харді. Тоді дія оператора S на є множення на незалежну змінну:
,
і дія його лівого зворотного S * є дія усіченого оператора множення
,
де - ортогональна проекція. Тепер ми можемо розглядати оператори Ганкеля як оператори, що діють між просторами і з базисами і. Щоб зробити це, ми вводимо інволюцію
,
на. Тоді, і зокрема. p> Нехай буде оператором Ганкеля. Тоді оператор
В
визначається матрицею щодо базисів, і задовольняє наступному рівності операторів (так зване рівняння Ганкеля)
,
...
