ав винятку, тим більше в рабовласницькому суспільстві. До того ж він просто непріложім до конкретній ситуації спору, адже Протагор, гарантуючи високий рівень навчання, сам відмовлявся приймати плату в разі невдачі свого учня в першому процесі. p align="justify"> Але найзнаменитіший парадокс це, мабуть, парадокс Ахілла і Черепахи. Ахілл - герой і, як би ми зараз сказали, видатний спортсмен. Черепаха, як відомо, одне з найбільш повільних тварин. Тим не менш, Зенон стверджував, що Ахілл програє черепасі змагання в бігу. Приймемо наступні умови. Нехай Ахілла відокремлює від фінішу відстань 1, а черепаху - Р…. Рухатися Ахілл і черепаха починають одночасно. Нехай для визначеності Ахілл біжить в 2 рази швидше черепахи (тобто дуже повільно йде). Тоді, пробігши відстань Р…, Ахілл виявить, що черепаха встигла за той же час подолати відрізок С? і як і раніше знаходиться попереду героя. Далі картина повторюється: пробігши четверту частину шляху, Ахілл побачить черепаху на одній восьмій частині шляху попереду себе і т. д. Отже, щоразу, коли Ахілл долає відділяє його від черепахи відстань, остання встигає поповзти від нього і як і раніше залишається попереду. Таким чином, Ахілл ніколи не наздожене черепаху. Знаючі математичний аналіз зазвичай вказують, що ряд сходиться до 1. Тому, мовляв, Ахілл подолає весь шлях за кінцевий проміжок часу і, безумовно, обжене черепаху. Але ось що пишуть з даного приводу Д. Гільберт і П. Бернайс:
Зазвичай цей парадокс намагаються обійти міркуванням про те, що сума нескінченного числа цих тимчасових інтервалів таки сходиться і, таким чином, дає кінцевий проміжок часу. Однак це міркування абсолютно не торкається один істотно парадоксальний момент, а саме парадокс, що полягає в тому, що якась нескінченна послідовність наступних один за одним подій, послідовність, завершаемості якої ми не можемо собі навіть уявити (не тільки фізично, але хоча б в принципі) , насправді все-таки повинна завершитися .
Принципова незавершаемость даної послідовності полягає в тому, що в ній відсутній останній елемент. Всякий раз, вказавши черговий член послідовності, ми можемо вказати і наступний за ним. Цікаве зауваження, також вказує на парадоксальність ситуації, зустрічаємо у Г. Вейля:
Уявімо собі обчислювальну машину, яка виконувала б першу операцію за Р… хвилини, другу - за С? хвилини, третю - за? хвилини і т.д. Така машина могла б до кінця першої хвилини перерахувати весь натуральний ряд (написати, наприклад, рахункове число одиниць). Ясно, що робота над конструкцією такої машини приречена на невдачу. Так чому ж тіло, що вийшло з точки А, досягає кінця відрізка В, відрахувавши рахункове безліч точок А1, А2, ... , Аn, ... ? Стародавні греки тим більше не могли собі уявити заверше...
