функцію Гріна так, щоб на поверхні зверталася в нуль її нормальна похідна. Таким чином в інтегралі по поверхні залишається тільки одне з двох доданків. p> За відсутності граничних умов функція Гріна для Лапласіан має вигляд:
.
Вважаючи граничну поверхню нескінченно великою і підставляючи в це вираження функцію Гріна, ми прийдемо до аналогічного виразу для електричного потенціалу через електричну щільність заряду.
.
Приклад
Дана задача
;
.
Знайти функцію Гріна.
Перший етап: Функція Гріна в даному випадку за визначенням повинна бути рішенням рівняння
,
де двома штрихами позначена друга похідна за x.
Для, де?-функція дорівнює нулю, це рівняння зводиться до однорідного (пункт 2 згаданої теореми):, тобто для всіх точок, крім s, функція Гріна буде вирішенням такого однорідного рівняння.
Загальне рішення такого рівняння
,
де і - константи (не залежать від).
Таким чином, повинно мати саме такий вигляд всюди, крім точки, причому ліворуч і праворуч від неї коефіцієнти і можуть (і будуть) мати різне значення.
Накладемо на функцію Гріна граничні умови, що збігаються з граничними умовами вихідної завдання (пункт 3 згаданої у вступному зауваженні теореми). Функція Гріна з накладеними так граничними умовами зручна тим, що конструюються підсумовуванням або інтегруванням таких функцій Гріна рішення автоматично будуть задовольняти цим граничним умовам. p> З лівого граничного умови: - що накладається на функцію Гріна ми бачимо, що для коефіцієнт загального рішення повинен бути нулем, тобто для
.
Точно так само з правого граничного умови: - отримуємо рівність нулю коефіцієнта, тобто для
.
У підсумку, враховуючи, що коефіцієнти a і b взагалі кажучи можуть залежати від s, можемо записати:
В
Другий крок:
Потрібно визначити і.
Проінтегрував двічі ліву і праву частину рівняння з дельта-функцією в правій частині, ми побачимо, що функція Гріна повинна бути неперервна (пункт 1 згаданої теореми), а звідси умова зшивання рішення x s:
.
Проінтегрував ж ліву і праву частину того ж рівняння отримаємо умову на стрибок першої похідної (пункт 4 теореми), і використовуючи його, отримаємо:
.
Використовуючи правило Крамера <# "20" src = "doc_zip219.jpg"/>.
Ці вирази задовольняють умові пункту 5 теореми.
Тоді функція Гріна задачі:
В
Інші приклади
Нехай дано безліч і оператор L дорівнює d/dx. Тоді функція Хевісайда <# "20" src = "doc_zip222.jpg"/> і L - оператор Лапласа. Також припустимо, що при x = 0 накладені крайові умови Діріхле, при y = 0 - крайові умови Неймана. Тоді функція Гріна прийме вигляд
В В
2.3 Ріше...
