align="justify"> - функція Гріна, яка задовольняє таким вимогам:
неперервна по і .
Для , .
Для , .
Стрибок похідної:
.
симетричні:
.
Знаходження функції Гріна
Якщо безліч власних векторів <# "19" src = "doc_zip153.jpg"/> диференціального оператора (тобто набір функцій, таких, що для кожної знайдеться число, що) повно, то можна побудувати функцію Гріна за допомогою власних векторів і власних значень.
Під повнотою системи функцій мається на увазі виконання співвідношення:
.
Можна показати, що
.
Дійсно, подіяв оператором на цю суму, ми отримаємо дельта-функцію (в силу співвідношення повноти).
(Рисою зверху позначено комплексне сполучення <# "19" src = "doc_zip164.jpg"/> - речові функції, його можна не робити).
Функція Гріна для Лапласіан
Функція Гріна для Лапласіан може бути легко отримана з теореми Гріна <# "51" src = "doc_zip165.jpg"/>.
Припустимо і підставимо в закон Гаусса. Обчислимо та застосуємо ланцюгове правило для оператора:
В
.
Підставляючи результат у теорему Гаусса, ми отримуємо теорему Гріна
.
Припускаючи, що наш лінійний диференційний оператор L Лапласіан <# "19" src = "doc_zip172.jpg"/>, й те, що у нас є для нього функція Гріна G. Визначення функції Гріна в цьому випадку запишеться у вигляді:
.
Покладемо? = G в теоремі Гріна. Тоді отримаємо:
В
.
Використовуючи вираз, ми можемо вирішити рівняння Лапласа () і рівняння Пуасона (() з граничними умовами Неймана або Дирихле. Іншими словами, ми можемо знайти рішення всюди всередині заданої області, якщо (1) значення задано на кордоні цієї області (граничні умови Діріхле), або (2) нормальна похідна задана на кордоні цієї області (граничні умови фон Неймана).
Нехай нас цікавить вирішення всередині області. У цьому випадку інтеграл спрощується до чинності основного властивості дельта-функції <# "51" src = "doc_zip184.jpg"/>. br/>
Ця формула виражає відоме властивість гармонійних функцій <# "21" src = "doc_zip185.jpg"/> розуміється як електростатичний потенціал <# "22" src = "doc_zip186.jpg"/> як нормальна складова електричного поля.
При вирішенні крайової задачі Діріхле функція Гріна вибирається у вигляді. Ця функція звертається в нуль, коли x або знаходиться на межі розділу; і навпаки, вирішуючи крайову задачу Ньюмана, слід вибирати...
