i>
Розглянемо рис. 17, на якому зображено трикутник ABC на сфере з радіусом, что дорівнює одініці, та центром у точці O. У вершині A проведені дотічні AE та AD до СТОРІН b та c. ЦІ дотічні перетінаються у точках D и E з продовження радіусів сфері, что через вершини C и B.
Рис. 16.
Застосуємо теорему косінусів трігонометрії на площіні до трікутніків AED та OED и запішемо ее для сторін DE:
Прірівняємо между собою праві Частини рівнянь и Знайдемо:
,
Зважаючі, что Радіус СФЕРИ R=1 маємо:
; ;
Далі одержуємо:
Помножімо ВСІ доданкі последнего рівняння на cosb cosc ??и остаточно дістанемо:
Побудова на рис. 17 можлива, ЯКЩО Кожна Зі СТОРІН b и c Менша 90 °. Тому вирази нужно Узагальнити на тій випадок, коли трикутник має Сторони більші за 90 °. Для цього звернемося до рис. 13. На ньом зображено? ABC, что має Сторони b> 90 ° и c> 90 °. Если продовжімо Сторони b и c до їх перетин в точці D, то одержимо дієвідмін трикутник BCD, в якому Кожна Зі СТОРІН 180 °? b и 180 °? c буде Менша за 90 °. Застосовуючі цею вирази до трикутника BCD, чи можемо записатися:
, або
.
Отже, маємо теорему косінусів.
Теорема. Косинус Сторони Сферичність трикутника дорівнює добутку двох других СТОРІН плюс добуток сінусів ціх СТОРІН на косинус кута между ними.
2.7.2 Теорема сінусів
Сінусі СТОРІН Сферичність трикутника відносяться як Сінусі протилежних кутів.
Рис. 17.
Нехай довжина СТОРІН Сферичність трикутника (рис. 17) дорівнюють а, b, с, а протілежні їм куті цього трикутника Рівні А, В, С відповідно, r-Радіус сфери, тоді
.
За теоремою косінусів досліджується відношення и доводящего, что воно є сталь:
Розділ 3. Відстань между і на земній Кулі
3.1 Зв язок между географічними и Сферичність координатами
Як відомо з географії, земна куля позбав набліжено может вважатіся кулею з Погляду математичного Означення: на ній є гори и западини, земна куля сплюснута на полюсах и вітягнута на Рівні ЕКВАТОР. У представленому математичность дослідженні ми нехтуємо цімі відхіленнямі и Вважаємо земну кулю Ідеальною кулею у розумінні математичного зазначило. Радіус Кулі R пріймемо за 6370 км, поверхню Кулі - сферу позначімо C.
Для знаходження відстані между пунктами на земній поверхні буде потрібна система координат на сфере, Дещо Відмінна від загальнопрійнятої географічної системи координат. Нехай O - центр Кулі на малий., N і S - географічні Північний и південний полюси, так что NS - діаметр Кулі. Дугу великого кола - півколо NQS, что збігається з мерідіаном Грінвіча, назвемо Нульовий мерідіаном. Через центр Кулі перпендикулярно до діаметра NS проведемо площини. Перетин цієї площини Зі сферою C назвемо екватором и позначімо літерою K. Координати точки PC, відмінної від полюсів, візначімо таким чином. Проведемо ровері півко...
