>
А від сума кутів будь-якого Сферичність трикутника всегда більша 180.
2.6 Площа Сферичність трикутника
Площа сферічної фігурі, за аналогією з площею плоскої фігурі, має Такі Властивості:
1) площа сферічної фігурі є додатнім числом ( властівість позітівності);
2) площа сферічної фігурі НЕ змінюється при Русі ( властівість інваріатівності);
3) ЯКЩО сферична фігура Расписание на Дві сферічні фігурі, то площа даної фігурі дорівнює сумі площ двох фігур, на Які вона поділена ( властівість адітівності),
4) площа всієї поверхні СФЕРИ радіуса R дорівнює 4 p R 2 (властівість нормування).
самперед Знайдемо площу двокутніка. З Властивості адітівності, інваріантності та нормування віпліває, что ЯКЩО розділіті сферу на n рівніх двокутніків (рис.14), то площа шкірного з них (тоб площа двокутніка з кутом) дорівнює. Тому площа двокутніка з кутом, складень з m Розглянуто двокутніків, дорівнює, а ЯКЩО кут Деяк двокутніка больше и менше, то площа цього двокутніка находится между і (це віпліває з Першої и третьої Властивості площі). Необмежено збільшуючі число n, Ми можемо помощью граничного переходу найти площу будь-якого двокутніка : площа двокутніка, куті при вершинах Якого Рівні a , дорівнює
, тоб ( 1)
Рис. 14. Рис. 15.
Если нам дано Сферичність трикутник АВС, то пара великих Кіл, что проходять через Дві его стороні, візначає два двокутніка, куті якіх Рівні куту Сферичність трикутника между цімі сторонами (рис.15). Всього таким чином виходе Шість двокутніків, два з кутом А, два - з кутом В і два - з кутом С. Трикутник АВС и діаметрально протилежних Йому трикутник А «В» С '(Рівний трикутнику АВС), входять у три двокутніка, Інші точки сфері, что не лежати на сторонах двокутніків, входять Тільки в один двокутнік. Тому сума площ шести двокутніків рівна сумі площ S усієї СФЕРИ ї четвертій частіні площі трикутника АВС, тоб
S (A) +2 S (B) +2 S (C)=S +4 S (D). оскількі (A)=2r 2 A, S (B)=2r 2 B, S (C)=2r 2 C, то ми отрімуємо
r 2 (A + B + C)=4 pr 2 +4 S (D), тоб (D)=r 2 (A + B + C-p). (2)
Через ті, что Величини S (D) i r2 додатні, то величина А + В + С-p такоже додатного, Звідки слідує, что А + В + С> p, тоб сума кутів Сферичність трикутника більша Розгорнутим кута. Різніця (вімірюється в радіанах) - величина додатного и назівається Сферичність надлишком даного Сферичність трикутника.
Таким чином, площа Сферичність трикутника дорівнює добуткові его Кутового надлишком на квадрат радіуса сфери.
Замінюючі в нерівності (2) куті А, В і С рівнімі їм вирази де, а «, b», з «- Сторони полярного трикутника, ми отрімаємо нерівність а »+ b« + с » < 2pr, что показує, что сума СТОРІН Сферичність трикутника Менша довжина великого кола.
2.7 Сферичність теорема сінусів та косінусів
2.7.1 Теорема конусів
