учи, приватними випадками комплексних чисел. p> Якщо будь-яке дійсне число може бути геометрично представлено у вигляді точки на числовій прямій, то комплексне число представляється точкою на площині, координатами якої будуть відповідно дійсна і уявна частини комплексного числа. При цьому горизонтальна вісь буде дійсною числовою віссю, а вертикальна - уявної віссю. p> Таким чином, на осі ОХ розташовуються дійсні числа, а на осі ОY - чисто уявні.
За допомогою подібного геометричного подання можна представляти числа у так званій тригонометричної формі.
З геометричних міркувань видно, що. Тоді комплексне число можна представити у вигляді:
В
Така форма запису називається тригонометричної формою запису комплексного числа.
При цьому величина r називається модулем комплексного числа, а ріг нахилу j - аргументом комплексного числа.
.
З геометричних міркувань видно:
В
Очевидно, що комплексно - зв'язані числа мають однакові модулі і протилежні аргументи.
В
5.2 Дії з комплексними числами
Основні дії з комплексними числами випливають з дій з многочленами.
) Додавання і віднімання. br/>В В
) Множення.
В В
У тригонометричної формі:
,
В
З випадку комплексно - спряжених чисел:
В
3) Розподіл.
В В В
У тригонометричної формі:
В
4) Піднесення до ступеня.
З операції множення комплексних чисел випливає, що
В
У загальному випадку отримаємо:
,
де n - ціле позитивне число.
Це вираз називається формулою Муавра.
(Абрахам де Муавр (1667 - 1754) - англійський математик)
Формулу Муавра можна використовувати для знаходження тригонометричних функцій подвійного, потрійного і т.д. кутів.
Приклад. Знайти формули sin2j і cos2j. p> Розглянемо деякий комплексне число
В
Тоді з одного боку
.
За формулою Муавра:
В
Прирівнюючи, отримаємо
В
Т.к. два комплексних числа рівні, якщо рівні їх дійсні та уявні частини, то
В В
Отримали відомі формули подвійного кута.
) Вилучення кореня з комплексного числа.
В
Споруджуючи в ступінь, отримаємо:
В
Звідси:
В В
Таким чином, корінь n - го ступеня з комплексного числа має n різних значень.
5.3 Показова форма комплексного числа
Розглянемо показову функцію
Можна показати, що функція w може бути записана у вигляді:
В
Дане рівність називається рівнянням Ейлера. Висновок цього рівняння буде розглянуто пізніше. (Див.). p> Для комплексних чисел будуть справедливі такі властивості:
)
)
) де m - ціле число.
Якщо в рівнянні Ейлера показник ступеня прийняти за чисто уявне число (х = 0), то отримуємо:
В
Для комплексно - сполученого числа отримуємо:
В
З цих двох рівнянь отримуємо:
В
Цими формулами користуються для знаходження значень ступенів тригонометричних функцій через функції кратних кутів.
Якщо уявити комплексне число в тригонометричної формі
В
і скористаємося формулою Ейлера:
В
Отримане рівність і є показова форма комплексного числа. br/>
