єї функції. Щоб показати це, запишемо a = х2, b = х, тоді
.
4.6 Безперервність функції в точці
Визначення. Функція f (x), визначена в околиці деякої точки х0, називається безперервної в точці х0, якщо межа функції та її значення в цій точці рівні, тобто
В
Той же факт можна записати інакше: Визначення. Якщо функція f (x) визначена в деякій околиці точки х0, але не є безперервною в самій точці х0, то вона називається розривної функцією, а точка х0 - точкою розриву. p> Властивості неперервних функцій.
) Сума, різниця і твір безперервних в точці х0 функцій - є функція, безперервна в точці х0.
) Приватна двох безперервних функцій - є безперервна функція за умови, що g (x) не дорівнює нулю в точці х0. 3) Суперпозиція безперервних функцій - є безперервна функція. p> Ця властивість може бути записано таким чином:
Якщо u = f (x), v = g (x) - безперервні функції в точці х = х0, то функція v = g (f (x)) - теж непреривнаяфункція в цій точці. Справедливість наведених вище властивостей можна легко довести, використовуючи теореми про межі. br/>
4.7 Точки розриву та їх класифікація
Розглянемо деяку функцію f (x), безперервну в околиці точки х0, за винятком може бути самої цієї точки. З визначення точки розриву функції випливає, що х = х0 є точкою розриву, якщо функція не визначена в цій точці, або не є в ній безперервною. p> Слід відзначити також, що безперервність функції може бути односторонньою. Пояснимо це таким чином. Якщо односторонній межа (див. вище), то функція називається безперервної праворуч. p> Визначення. Точка х0 називається точкою розриву функції f (x), якщо f (x) не визначена в точці х0 або не є неперервною в цій точці. Визначення. Точка х0 називається точкою розриву 1 - го роду, якщо в цій точці функція f (x) має кінцеві, але не рівні один одному лівий і правий межі. p> Для виконання умов цього визначення не потрібно, щоб функція була визначена в точці х = х0, досить того, що вона визначена ліворуч і праворуч від неї.
З визначення можна зробити висновок, що в точці розриву 1 - го роду функція може мати тільки кінцевий стрибок. У деяких окремих випадках точку розриву 1 - го роду ще іноді називають усуненою точкою розриву, але докладніше про це поговоримо нижче. p> Визначення. Точка х0 називається точкою розриву 2 - го роду, якщо в цій крапці функція f (x) не має хоча б одного з односторонніх меж або хоча б один з них нескінченний. p> Приклад. Функція Діріхле (Дирихле Петер Густав (1805-1859) - німецький математик, член-кореспондент Петербурзької АН 1837р)
В
не є неперервною в будь-якій точці х0.
Приклад. Функція f (x) = має в точці х0 = 0 точку розриву +2 - го роду, тому що
.
В
Приклад. f (x) =
Функція не визначена в точці х = 0, але має в ній кінцевий межу, тобто в точці х = 0 функція має точку розриву 1 - го роду. Це - переборна точка розриву, тому що якщо довизначити функцію:
В
Графік цієї функції:
В
Приклад. f (x) ==
Ця функція також позначається sign (x) - знак х. У точці х = 0 функція не визначена. Т.к. лівий і правий межі функції різні, то точка розриву - 1 - го роду. Якщо довизначити функцію в точці х = 0, поклавши f (0) = 1, то функція буде неперервна праворуч, якщо покласти f (0) = -1, то функція буде неперервною зліва, якщо покласти f (x) рівне якому-або числу , відмінного від 1 або -1, то функція не неперервна ні ліворуч, ні праворуч, але у всіх випадках проте матиме в точці х = 0 розрив 1 - го роду. У цьому прикладі точка розриву 1 - го роду не є усуненою. Таким чином, для того, щоб точка розриву 1 - го роду була усуненою, необхідно, щоб односторонні межі справа і зліва були кінцеві і дорівнюють, а функція була б у цій точці не визначена. p> Тема 5. Комплексні числа
5.1 Тригонометрична форма запису комплексного числа
Визначення. Комплексним числом z називається вираз, де a і b - дійсні числа, i - уявна одиниця, яка визначається співвідношенням:
В
При цьому число a називається дійсною частиною числа z (a = Re z), а b-уявною частиною (b = Im z).
Якщо a = Re z = 0, то число z буде чисто уявним, якщо b = Im z = 0, то число z буде дійсним.
Визначення. Числа і називаються комплексно - сполученими. p> Визначення. Два комплексних числа і називаються рівними, якщо відповідно рівні їх дійсні та уявні частини:
В
Визначення. Комплексне число дорівнює нулю, якщо відповідно рівні нулю дійсна і уявна частини. p> Поняття комплексного числа має геометричне тлумачення. Безліч комплексних чисел є розширенням безлічі дійсних чисел за рахунок включення безлічі уявних чисел. Комплексні числа включають в себе всі множини чисел, які вивчалися раніше. Так натуральні, цілі, раціональні, ірраціональні, дійсні числа є, взагалі каж...
