що) не будуть виконуватися для цілих чисел. Можна показати, що звичайне визначення операцій над негативними числами єдино можливе, якщо ми хочемо зберегти звичні властивості операцій додавання і множення.
Тут слід зупинитися: які ж саме властивості додавання і множення ми хочемо зберегти? Адже якби ми хотіли зберегти всі властивості, то введення негативних чисел було б не тільки зайво, але і шкідливо: властивість "рівняння х +3 = 2 не має рішень", вірне для натуральних чисел, стає невірним для цілих! Якщо ж ми нічого не хочемо зберегти, то завдання стає настільки ж легкою, наскільки і порожній: можна визначити операції з негативними числами як завгодно. p> Повертаючись до історії розвитку поняття числа, ми бачимо, що введення негативних чисел не доставляє повного задоволення: рівняння 2x = 3 як і раніше не має рішення. Це спонукає ввести раціональні (дробові) числа. Але й цього недостатньо: від раціональних чисел доводиться перейти до дійсним. У результаті виходить послідовність множин NГЊZГЊQГЊR (Натуральних, цілих, раціональних і дійсних чисел; А ГЊ В означає, що всякий елемент множини А належить безлічі B . У цій послідовності кожне наступне безліч включає в себе попереднє, при цьому були в попередньому операції тривають на наступне, більш широке, безліч, зберігаючи свої корисні властивості.
Ми хочемо продовжити цю послідовність ще на одні член, отримавши послідовність NГЊZГЊQГЊRГЊ * R, де * R - безліч гіпердействітельних чисел. Новий крок розширення буде мати багато спільного з попередніми: ми продовжимо на * R наявні в R операції, зберігши їх корисні властивості. Але будуть і 2 важливих відмінності. p> перше, якщо розширення (перехід від R до * R) можна виконати багатьма різними способами: можна побудувати істотно різні безлічі * R, жодне з яких нічим не виділяється серед інших. У той жо час, всі попередні кроки нашого розширення числової системи від N до R були в деякому сенсі однозначні. p> друге, є відмінність в наших цілях. Якщо раніше (рухаючись від N до R) ми будували нову числову систему насамперед для того, щоб дослідити її властивості і її застосування, то побудована система * R призначається не стільки для того, щоб дослідити її властивості, скільки для того, щоб за її допомогою досліджувати властивості R. Втім відмінність і не так велике: і раніше розширення числової системи було одним із способів отримання нових знань про старих об'єктах. Крім того, безліч * R можна розглядати, бути може, як відповідне фізичної реальності в не меншій (і навіть більшою) мірою, ніж R.
Отже, необ-хідно розширити безліч R дійсних чисел до більшого безлічі * R, що містить нескінченно малі, зберігши при цьому всі корисні властивості R. Центральне питання полягає в тому, які саме властивості дійсних чисел ми бажаємо зберегти. Відповімо на це питання не відразу, почавши з найбільш простих властивостей дійсних чисел.
Насамперед, ми хочемо, щоб гі...
