> a + а + a > b , ... обов'язково виконано. У Надалі, кажучи про аксіому Архімеда, ми будемо мати на увазі саме цю формулювання. З неї видно, що в множині дійсних чисел (де ця аксіома виконується) нескінченно малих немає: щоб переконатися в цьому, досить покласти a = e , b = +1. Ми побачимо надалі, що на самому справі аксіома Архімеда рівносильна твердженням про відсутність нескінченно малих елементів, що не рав-них нулю. p> Висновок - якщо ми хочемо розглядати нескінченно малі, потрібно розширити безліч R дійсних чисел до деякого більшого безлічі * R. Елементи цього нового безлічі будемо називати гіпердействітельнимі числами. У ньому аксіома Архімеда НЕ виконується і існують нескінченно малі (в сенсі останнього визначення) числа - такі, що скільки їх складай з собою, сума буде весь час залишатися менше 1. Подібно до того як звичайний (або стандартний) математичний аналіз займається вивченням безлічі дійсних чисел R, нестандартний аналіз вивчає безліч гіпердействі-них чисел * R. Отримані при цьому результати використовуються для дослідження властивостей R. (Таким чином можуть бути отримані "Нестандартні" докази властивостей звичайних дійсних чисел.) p> Порядок на R архимедів, а на * R неархімедов: це значить, що в R аксіома Архімеда виконується, а в * R не виконується. З цієї причини стандартний (звичайний) аналіз, який вивчає R, називається ще архімедовим, а нестандартний аналіз, який вивчає * R, називають неархимедовой.
Для побудови нестандартного аналізу необхідно розширити безліч дійсних чисел до більш широкого безлічі гіпердействітельних чисел. p> Але перш поговоримо про самих дійсних числах і їх походження.
Досі ми припускали відомим поняття дійсного числа. Поняття дійсного числа має довгу історію, що почалася ще в стародавній Греції (про що нагадує назву "аксіома Архімеда") і закінчилася лише в XIX столітті. Самою первісної і основний числовий системою є, звичайно, система натуральних чисел. Натуральних чисел, однак, виявляється мало: намагаючись вирішити рівняння 3 + х = 2 в натуральних числах, ми виявляємо, що воно не має рішень і наше бажання визначити операцію віднімання виявляється незадоволеним. Тому ми розширюємо безліч натуральних чисел до множини цілих чисел. У цій процедурі для нас зараз важливо наступне: яким чином ми визначимо додавання і множення на цілих числах? Те, що 2 + 2 == 4, можна побачити, склавши дві купи по два яблука в одну. Але чому ми вважаємо, що (-2) + (-2) = (-4)? Чому ми вважаємо, що (-1) (-1) = 1?
Ці питання не так тривіальні, як може здатися. Знайти правильну відповідь буде легше, якщо сформулювати питання інакше: що поганого станеться, якщо ми будемо вважати, наприклад, що (-1) (-1) = (-1)? Відповідь проста: в цьому випадку добре відомі властивості додавання і множення натуральних чисел (комутативність, асоціативність то...
