,, то. p> У такому випадку говорять, що введений порядок перетворює Р в упорядковане поле. Упорядковане поле Р є неархимедовой тоді і тільки тоді, коли в ньому є позитивні нескінченно малі елементи. Упорядковане поле Р називається розширенням поля дійсних чисел R, якщо Р містить всі дійсні числа і, крім того, операції та порядок з Р, представлені на елементах їх R, збігаються із звичайними арифметичними операціями і звичайним порядком на дійсних числах.
Приклад неархимедовой числової системи p> Побудуємо приклад неархимедовой упорядкованого поля, що є розширенням поля дійсних чисел.
Припустимо, що шукане розширення * R вже побудовано, і досліджуємо його будову. Елементи множини * R ми будемо називати гіпердействітельнимі числами. Серед них містяться і все дійсні числа. Щоб відрізнити їх, будемо називати дійсні числа (Елементи R) стандартними, а решта гіпердействітельние числа (елементи * R/R)-нестандартними. p> За нашим припущенням, поле * R містить нескінченно малі числа, не рівні нулю. Гіпердействітельное число називається нескінченно малим, якщо всі суми
і т. д.
менше 1. Тут через позначений модуль гіпердействітельного числа, який визначається так:.
Зазначимо, що стандартне число 0 також виявляється, згідно з цим визначенням, нескінченно малим. Але всі решта нескінченно малі числа не можуть бути стандартними. Це випливає з того, що для стандартних чисел справедлива аксіома Архімеда.
Поряд з нескінченно малими в полі * R існують і нескінченно великі. Ми називаємо гіпердействітельное число А нескінченно великим, якщо
і т.д.
Якщо, нескінченно мало, але відмінно від нуля, то число нескінченно велике. Вірно і зворотне, якщо число А нескінченно велике, то число нескінченно мало. Звідси випливає, що всі нескінченно великі числа нестандартні.
Гіпердействітельние числа, які не які є нескінченно великими, називаються кінцевими. Кожне кінцеве гіпердействітельное число можна представити у вигляді де - стандартне число, а - нескінченно мале. Нехай - кінцеве гіпердействітельное число. Розіб'ємо дійсні числа на два класи: менші і більші. Т.к. звичайно, то обидва класу не порожні. За "аксіомі повноти "існує дійсне число, що розділяє ці класи. Легко бачити, що буде нескінченно малим. Число називається стандартною частиною кінцевого гіпердействітельного числа. Позначається це так:. Таким чином, безліч кінцевих гіпердействітельних чисел розбивається на класи. Ці класи називаються Монада. Монадою стандартного числа називається безліч всіх нескінченно близьких до нього гіпердействітельних чисел.
Обговоривши структуру нестандартного "Мікросвіту", скажемо кілька слів про будову нестандартного "макросвіту". Їх можна розбити на класи ("галактики"), кожен з яких влаштований, подібно безлічі всіх кінцевих гіпердействітельних чисел. Серед галактик немає ні самої великий, ні самої малої; між будь-якими двома галактиками є нескінченно багато інших галакт...
