ик.
Що ще потрібно знати про нескінченно малих? p> Розглянемо, що виходить в результаті побудови поля гіпердействітельних чисел.
Насамперед, ми отримуємо неархимедовой розширення поля дійсних чисел. Крім того, "кожному об'єкту стандартного світу "поставлений у відповідність його аналог в" нестандартному світі ". Саме нестандартним аналогом будь-якого дійсного числа є воно саме; будь-якого підмножині А множини R відповідає підмножина * А безлічі * R, кожної функції f з R в R відповідає функція * f з * R в * R, кожної двомісної функції g з R в R відповідає функція * g з * R в * R і т. д. Зрозуміло, ці аналоги * A, * f, * g не довільні, а повинні володіти деякими спеціальними властивостями: так, * А, на дійсних числах f і * f збігаються, так що * f є продовженням для f, а * g - продовженням для g. При цьому виявляється виконаним так званий принцип перенесення, який стверджує, грубо кажучи, що в стандартному універсумі істинні ті ж твердження формальної мови, що і в нестандартному універсумі. Типове використання полягає в тому, що ми доводимо бажаний результат у нестандартному універсумі, а потім, помітивши, що результат висловимо в мові, укладаємо, що він виконаний також у стандартному універсумі.
Наведемо два приклади "нестандартні визначення" стандартних понять. Нехай - послідовність дійсних чисел, або, іншими словами, функція з N в R. Її нестандартний аналог являє собою функцію з * N в * R; значення цієї функції на гіпернатуральном числі m природно позначати. ​​
Визначення межі. Стандартне число називається межею послідовності, якщо всі нескінченно далекі члени цієї послідовності нескінченно близькі до, тобто для всякого нестандартного гіпернатурального числа різниця нескінченно мала.
Визначення граничної точки. Стандартне число називається граничної точкою послідовності, якщо деякі нескінченно далекі члени послідовності нескінченно близькі до, тобто існує таке нестанд артное гіпернатуральное число, що різниця нескінченно мала.
А тепер доведемо еквівалентність В«НестандартногоВ» визначення межі послідовності В«стандартномуВ», користуючись принципом перенесення:
Доказ:
Нехай, що позначає
Застосуємо до цього твердження принцип переносу, отримаємо:
Але нескінченно великі номери будуть задовольняти цій умові при, тому для нескінченних дане нерівність виконається при, що й означає.
Нехай виконана умова даного твердження. Візьмемо, то. За принципом переносу таке ж твердження вірно і в стандартному універсумі, це і означає, що.
Доведено.
Розглянемо ще один приклад: доказ рівномірної неперервності функції на відрізку: функція f рівномірно неперервна на відрізку тоді і тільки тоді, коли
Доказ:
Нехай f рівномірно неперервна на відрізку. Тоді для будь-якого можна знайти, таке, що
.
За принципом перенесення виходить, що тягне. Якщо на Насправді, те завідо...
