нь. p> Символічна система Фреге не задовольняє вимогам теорії типів, тому в ній і можна сформулювати парадоксальні твердження. h2> 4. Корекція визначення числа і аксіома нескінченності
Формулювання парадоксу зачіпає не тільки суперечливість міркування, але й іншої важливий аспект логіцістской програми Г.Фреге, який пов'язаний з визначенням арифметичних понять в логічних термінах. Визначення числа по Фреге, як воно було сформульовано вище, вимагає розглядати класи, що складаються з елементів, що належать до різних типів. Наприклад, вже визначення числа два передбачає клас, утворений з нуль-класу і класу, елементом якого є сам нуль-клас. Однак саме це і містить парадокс, який виявив Рассел. Рассел зберігає логіцістскую установку на те, що арифметика сводіма до логіки, але у світлі встановленого протиріччя визначення числа має бути модифіковано таким чином, щоб виключити змішання типів. p> Рассел виходить зі скрути наступним чином [7] . Він зберігає загальний фрегеанскій підхід до числа з точки зору класів, що знаходяться у взаємно-однозначним дотриманням. Зберігає він і визначення нуля як класу нерівних самим собі об'єктів. Модифікація визначення починається з числа один. Число один відповідає класу всіх класів, що знаходяться під взаємно-однозначним дотриманням класом, що містить один об'єкт. Число два відповідає класу всіх класів, що знаходяться у взаємно-однозначним відповідно до класу, який складається з об'єкта, використаного при визначенні числа один, плюс новий об'єкт і т.д. Визначення, побудоване таким способом, уникає парадоксу, оскільки дотримується вимога теорії типів. Об'єкти, використовувані при визначенні чисел, належать одному і тому ж типу. Однак воно вимагає введення додаткового постулату. Визначення кожного наступного числа в послідовності натуральних чисел вимагає нового об'єкта. Але оскільки натуральний ряд нескінченний, остільки повинно передбачатися і нескінченна кількість об'єктів. Так в логічній системі Рассела виникає аксіома нескінченності, а саме допущення про те, що будь-якому заданому числу n відповідає деякий клас об'єктів, що має n членів [8] . h2> 5. Логічні фікції і аксіома сводимости
У Principia Mathematica, працю, в якому Рассел спільно з Уайтхедом спробували послідовно розвинути передумови логіцізма, теорія типів, аксіома нескінченності і розглянута нижче аксіома сводимости включаються до числа логічних пропозицій. Однак тут виникає проблема, пов'язана зі статусом даних положень. Характеристика різних рівнів буття, запропонована теорією типів, або аксіома нескінченності, характеризує сукупність предметів у світі, виходить за рамки аналітичного знання. Розробляючи теорію типів, Рассел говорить про неприпустимість певної комбінації символів у мові логіки. Однак те, що він має на увазі, виходить за рамки символічної комбінаторики, оскільки самі по собі символи підстави для такої заборони не дають. Обмеження можливі лише тоді, коли в роз...
