> - це точки, симетричні P і P ? щодо боку BC трикутника ABC .
Доведемо зворотне. Якщо педальні окружності точок P і Q збігаються, то по доведеному вище вони збігаються з педальної окружністю точки P ?, Ізогонально сполученої точці P . У педального трикутника точки Q дві з трьох вершин спільні з педальним трикутником або точки P , або точки P ?. Отже, точка Q збігається з однією з цих точок, тому що проекції точки на дві прямі повністю задають положення цієї точки. p> За допомогою ізогонального сполучення можна досить просто довести теорему Паскаля.
Теорема 1.1.3. (Теорема Паскаля). Нехай точки A , B , C , D , E і F лежать на конику. Тоді точки перетину прямих AB і DE , BC і EF , CD і < i> FA лежать на одній прямій.
Доказ. Ми розглянемо тільки один випадок розташування точок на конику. Решта розглядаються аналогічно. p> Переведемо проективним перетворенням коника в коло. Отримаємо наступну конструкцію (рис. 1.1.10). Точки A , B , C , D , E і F лежать на одному колі. Нехай прямі AB і DE перетинаються в точці X , прямі BC і EF - в точці Y , а AF і CD - у точці Z . Треба довести, що точки X , Y і Z лежать на одній прямій. br/>В
Рис. 1.10
Кути BAF і BCF рівні, оскільки спираються на одну дугу. Аналогічно дорівнюють кути CDE і CFE . Крім того, трикутники AZD і CZF подібні. Розглянемо перетворення подібності, що переводить трикутник AZD в трикутник CZF . При цьому перетворенні точка X перейде в точку X < span align = "justify">?, ізогонально сполучену точці Y щодо трикутника CZF (в силу вищевказаних рівностей кутів). Отже,? AZX =? CZX ? =? FZY , а це і означає, що точки X , Z
