отиріччя. Ламберт ніде у своєму творі не стверджує, що V постулат їм доведений, і приходить до твердого висновку, що і всі інші спроби в цьому напрямку не привели до мети. p align="justify"> В«Докази евклидова постулату, - пише Ламберт, - можуть бути доведені настільки далеко, що залишається, мабуть, незначна дрібниця. Але при ретельному аналізі виявляється, що в цій уявній дрібниці і полягає вся суть питання; звичайно вона містить або доказувана пропозицію, або рівносильний йому постулат В». p align="justify"> Більше того, розвиваючи систему гіпотези гострого кута, Ламберт виявляє аналогію цієї системи зі сферичною геометрією і в цьому вбачає можливість її існування.
В«Я схильний навіть думати, що третя гіпотеза справедлива на який-небудь уявної сфері. Повинна ж бути причина, внаслідок якої вона на площині далеко не піддається спростуванню, як це легко може бути зроблено з другої гіпотезою В». br/>
.5 А.М.Лежандра
Французький математик і педагог А. М. Лежандр є автором чудового шкільного підручника "Почала геометрії", що вийшов у світ першим виданням в 1794 році і перевидавався за життя автора 14 разів. Лежандр досить істотно міняв свою книгу від видання до видання. При цьому найбільше його турбувала теорія паралельних. У всіх прижиттєвих виданнях "Почав геометрії", крім 9, 10 і 11-го, Лежандр доводив V постулат, змінюючи, однак, докази від видання до видання. Пояснювалося це тим, що кожного разу після виходу чергового видання Лежандр виявляв помилку в опублікованому доказі (точніше, не помилку, а неявне використання твердження, еквівалентного V постулату). Бездоганного докази V постулату Лежандр так і не отримав (і, як буде ясно зі сказаного нижче, не міг отримати). Проте його дослідження дуже повчальні і, що найголовніше, розкривають глибокі зв'язки між V постулатом та іншими пропозиціями. Особливо важливі три чудові теореми Лежандра про зв'язок V постулату з теоремами про суму кутів трикутника. Розглянемо їх докладніше. Докази цих теорем проводяться без використання V постулату (або аксіоми про паралельні). p align="justify"> Теорема 1. У всякому трикутнику сума внутрішніх кутів не перевищує 180 В°. p align="justify"> Доказ. Припустимо, що наша теорема невірна, тобто що існує трикутник ABA 1 , сума кутів якого більше 180 В°. Продовжимо бік AA 1 цього трикутника і побудуємо на прямий AA 1 ряд трикутників A 1 B 1 A 2 , A 2 B 2 A 3...
