нія виплачує суму рівну 3 рублів.
Необхідно визначити премії для всіх груп договорів, які гарантували б задану ймовірність q виконання компанією всіх своїх зобов'язань.
Індивідуальний збиток за кожним договором i-ої групи короткострокового страхування дорівнює? i, де? i - випадкова величина, яка приймає три значення:
з імовірністю (1 -),
з імовірністю (),
з імовірністю (),
де i=1, ..., m.
Сумарна виплата по портфелю короткострокового страхування є випадкова величина S:
Середнє значення і дисперсії величин індивідуальних збитків є
,
,
...
.
...
Середнє значення і дисперсія сумарних виплат по портфелю договорів короткострокового страхування життя рівні:
Для договорів довгострокового страхування життя підрахуємо спочатку нетто-премію:
де щільність залишкового часу життя.
Оскільки інтенсивність смертності відома, ми можемо знайти функцію виживання:
що, в свою чергу, дає наступну формулу для
де i може приймати значення від 1 до r.
Тепер ми можемо підрахувати середнє значення величин індивідуальних збитків для кожної групи договорів довгострокового страхування життя:
Другий момент сучасної величини виплат за індивідуальним договором може бути отриманий за такою формулою:
тоді дисперсія величин індивідуальних збитком по всіх групах договорів:
Середнє значення і дисперсія сумарних виплат по портфелю договорів довгострокового страхування життя рівні:
Загальне середнє значення сумарних виплат по всьому портфелю договорів одно:
а загальна дисперсія
Припустимо, що сумарна премія дорівнює. Використовуючи гауссовское наближення для центрованої і нормованої величини сумарних виплат, ми можемо уявити ймовірність неразоренние компанії в наступному вигляді:
Для того, що б ймовірність неразоренние дорівнювала q, величина повинна бути рівною (1-q)-відсоткової точці стандартного нормального розподілу x (1-Q)%, тобто сумарна премія повинна дорівнювати
де - Сумарна нетто-премія, а - захисна надбавка, позначимо її:
=
Нехай 11, 12, ..., 1m, 21, 22, ..., 2r, - захисні надбавки для договорів з кожної групи. Тоді
Розглянемо три випадки вибору захисної надбавки:
) Захисна надбавка для індивідуального договору береться пропорційної нетто-премії;
) Захисна надбавка для індивідуального договору береться пропорційної дисперсії виплат за договором;
) Захисна надбавка для індивідуального договору береться пропорційної середньому квадратичному відхиленню виплат за договором.
) Відносна страхова надбавка одна і та ж для всіх договорів і дорівнює
а індивідуальні захисні надбавки пропорційні нетто-премій:
11=1, 12=2, ..., 1m=m, 21 =, 22 =, ..., 2r =,
тому премії для договорів з кожної групи будуть рівні:
,
.
) Якщо додаткова сума L ділиться пропорційно дисперсій, коефіцієнт пропорційності
тоді для договорів з кожної групи страхові надбавки рівні
