ться сумою разових фазових відхилень.
Для знаходження найменш ассиметричного фільтра необхідно знайти всі корені. Вибираючи пари коренів всередині одиничного кола, або поза кола, будуємо з мінімальною фазою. Коріння, що лежать на одиничному колі, мають лінійну фазу. Зауваження 5. Для вейвлета Добеши малого порядку недостатньо свободи для різних варіантів вибору коренів, тоді сімлети збігаються з вейвлетами Добеши. Відмінності спостерігаються з порядку. Це показано на малюнку 1.5.
Вейвлет Добеши четвертого порядку (db4)
Cімлет четвертий порядку (sym4) Рис. 1.5
.5 Безперервне вейвлет-перетворення
.5.1 Безперервне вейвлет-перетворення в одновимірному випадку
Безперервне вейвлет-перетворення можна отримати, якщо у виразі вейвлета дозволити числах і приймати безперервні значення, а суми замінити на інтеграли. Тоді ми отримуємо сімейство функцій, залежне від двох безперервних параметрів і. Далі використовується наступне двопараметричного сімейство функцій:
,,,. (1.39)
Параметр визначає зсув по осі, параметр - це масштабний коефіцієнт. Безперервне (інтегральне) вейвлет-перетворення функції з визначається формулою
. (1.40)
Вейвлет коефіцієнти дискретного розкладання функції в ряд по ВЕЙВЛЕТ можна визначити через інтегральне вейвлет-перетворення:
.
При використанні вейвлетів для аналізу сигналів безперервне вейвлет-перетворення іноді зручніше за рахунок надмірності, пов'язаної з безперервним зміною масштабного коефіцієнта і параметра зсуву.
Сімейство функцій (1.39) і перетворення (1.40) можна визначити для будь-якої функції. Однак для того, щоб з функцій двох змінних і можна було відновити функцію, необхідно зробити деякі припущення відносно. По-перше, зручно вважати функцію нормованої:
, (1.41)
а по-друге, для звернення вейвлет-перетворення (1.40) необхідна кінцівку наступного інтеграла:
. (1.42)
Функцію, що задовольняє умовам (1.41) і (1.42), будемо називати вейвлет-функцією для безперервного вейвлет-перетворення.
Відзначимо, що тут немає мови про масштабирующих функціях і самі їх умови (1.41) і (1.42) досить слабкі. З (1.42) випливає, що якщо, то
. (1.43)
Інакше інтеграл (1.42) є розбіжним. Таким чином, умова (1.43) є необхідним. При додатковому умови воно є і достатнім. Дійсно, якщо, то перетворення Фур'є є безперервно диференціюється функцією. Тоді, враховуючи (1.43), отримуємо в околиці нуля. Тому особливість в інтегралі (1.42) зникає, і інтеграл буде збіжним.
Нехай - деякий вейвлет для безперервного вейвлет-перетворення.
Теорема 1. (Формула обігу): Якщо, то
. (1.44)
Для оборотності вейвлет-перетворення необхідно, щоб, якщо. Їх формули (1.40) випливає, що це можливо тільки в тому випадку, коли система є повною (не існує елемента, ортогонального всім). Це властивість системи забезпечуються одним інтегральним умовою (1.42).
Слідство. Має місце наступна формула Планшереля:
. (1.45)
Два властивості безперервного вейвлет-перетворення.
Зрушення. .
Розтягнення. .
.5.2. Миттєві узагальнення безперервного вейвлет-перетворення
Розглянемо безп...
