озкладання на множники з дійсними коефіцієнтами. З кожної пари дійсних коренів вибираємо одну будь-яку всередині або зовні одиничного кола. Серед коренів на одиничному колі вибираємо один корінь з пари вироджених коренів.
Зауваження 4. У нашому випадку ортогонального вейвлета з компактним носієм частотна функція є тригонометричним поліномом, що задовольняє співвідношенню. Якщо вимагати нульових моментів функції, то функція має спеціальний вид
,
де - такий тригонометричний поліном. Вважаємо
, тоді
де многочлен (мінімальної) ступеня визначається формулою
.
Функція знаходиться спектральної факторизації многочлена
з урахуванням того, що
де. Тоді задається у вигляді:
,
де пробігає індекси всіх обраних коренів.
Приклад вейвлета Добеши db2. Вейвлет-функція будується за формулою. Вона називається вейвлетом Добеши і позначається символом «db2». Її графік показаний на рис. 1.4.
Рис. 1.4 Вейвлет Добеши (db2)
1.4.2 Сімлети
При знаходженні частотної функції ортогонального вейвлета з компактним носієм використовується процедура спектральної факторизации, «добування квадратного кореня» з. Як вже зазначалося, знаходиться за многочлену неоднозначно, наприклад можна множити на, де - будь-яке число. Є також свавілля у виборі половини коренів многочлена. Ці різні вибори коренів призводять до різних фаз функції і, в свою чергу, до різних коефіцієнтам фільтру і ВЕЙВЛЕТ, всі з яких задовольняють умові ортогональності і умові нульових моментів. У разі вейвлетов Добеши нулі знаходяться всередині одиничному колі.
Для практичних цілей (наприклад, в обробці зображень) необхідно мати фільтри з деякими властивостями симетрії. Легко бачити, що якщо дійсний фільтр є симетричним щодо центрального коефіцієнта, тобто , То
.
Якщо дійсний фільтр є антисиметричним щодо центрального коефіцієнта, тобто , То
.
В обох випадках частотна функція має фазу, яка є лінійною по,. Такі фільтри називаються фільтрами з лінійною фазою, тому що фаза його передавальної функції лінійна по.
Крім системи Хаара, ніяка система функцій і не може одночасно мати компактний носій і бути симетричною. Однак спробувати наблизитися, наскільки можливо, до симетрії. Для симетричних вейвлетов фаза частотної функції нульова. Тому можна зажадати, щоб фаза була мінімальною серед усіх з тим же самим значенням. Ця вимога визначає деякий вибір тригонометричного полінома. Такі вейвлети, отримані з вейвлетів Добеши називаються сімлетамі.
Ідея побудови сімлетов полягає в тому, щоб, вибираючи нулі, отримати найменш асиметричний вейвлет. Для цього потрібно обчислювати фазу функції залежно від вибору коренів.
Якщо ігнорувати лінійну фазу, то фаза може бути обчислена таким чином. Оскільки є твором сомножителей виду або, повна фаза є сума фазових внесків кожного співмножники. Для коефіцієнта виду
де і, маємо
,
і відповідна фаза, ігноруючи лінійний внесок, має вигляд
.
Аналогічно для коефіцієнтів виду, де є дійсним, маємо
,
і відповідна фаза, знову ігноруючи лінійний внесок:
.
Відхилення фази від лінійної фази визначає...
