ерервне вейвлет-перетворення в разі простору, тобто коли функції залежать від змінних.
Перетворення Фур'є в. Нехай. Перетворення Фур'є функції визначається формулою
, (1.46)
де,, і.
Перетворення Фур'є в має аналогічні властивості, що і в одновимірному випадку. Ось деякі з них.
Формула звернення:
. (1.47)
Формула Планшереля:
. (1.48)
Зрушення просторової змінної:
. (1.49)
Дія лінійного оператора на. Нехай лінійний невироджений оператор в просторі. Тоді
, (1.50)
де зворотна транспортна матриця.
Для переходу до багатовимірним, необхідно проаналізувати одномірне вейвлет-перетворення з теоретико-груповий точки зору. Введемо два позначення. Символом будемо позначати групу з множенню ненульових дійсних чисел,, а символом - групу з множенню позитивних дійсних чисел.
Афінна група. Перетворення виду - це дія аффинной групи на просторі. Афінна група параметрізуется двома змінними, тут? група по складанню. Однак не є прямим твором груп і. Дійсно, якщо і, то композиції цих перетворень є. Тому закон перемноження елементів і наступний:
.
Така структура називається напівпряму твором груп і.
Елементи групи зручно представляти як матриці виду:
При цьому якщо і, то композиція цих перетворень відповідає твір матриць
.
Зворотне перетворення для має вигляд, і йому відповідає зворотна матриця
.
Афінна група параметрізуется двома змінними. Якщо припускаємо інтегрувати по цьому простору параметрів, то в якості елемента обсягу природно взяти. Однак даний елемент об'єму не пов'язаний з груповою структурою на. Зокрема, не буде інваріантним щодо лівих зрушень на групі. Інший елемент об'єму:
,
що залежить від точки. Цей момент обсягу вже буде левоінваріантним. Дійсно, якщо є лівий зсув на групі елементів, то для обраного елемента обсягу виконується властивість:
.
У загальному випадку перетворення діє на диференціальних?? Ормах як заміна змінної, за формулою:. Нехай
,.
Тоді.
Кожен елемент аффинной групи діє на функціях наступним чином:, то є. Така дія, хоча і є цілком природним, володіє двома недоліками. По-перше, композиції матриць не відповідає композиція операторів в тому ж порядку:
,,
а по-друге, воно не унітарно, тобто не зберігає-норму функції. Перший недолік можна усунути, визначивши дію групи на функціях через зворотне перетворення
, то є. Тоді
,.
Унітарність досягається простим множенням на. Тоді оператор в просторі, певною формулою
, (1.51)
є унітарною - він зберігає скалярний твір. Дійсно,
Таким чином, кожному афінних перетворень відповідає унікальний оператор в просторі, певний формулою (1.51). При цьому відповідність має властивість
. (1.52)
З (1.52) випливає ще дві властивості.
. одиничної матриці відповідає тотожне перетворення,.
. Зворотною матриці відповідає зворотне перетворення,.
Така відповідність називається унітарною поданням аффинной групи в просторі, оскільки ко...
