мо, что [а, c, laquo ;. Х raquo ;, у ] gt; [а, c ,. Х, у] и [c laquo ;, b, х raquo ;, у ] gt; [c raquo ;, b ,. Х, у]. Іншімі словами, нужно довести, что если точки а, b ,. х, у розташовані в такому порядку, як на рис. 10. то Збільшення відрізка ху виробляти до Зменшення Подвійного отношения [а, b ,. х, у]. Будемо вважаті позитивним направление променя ух. Тоді для Збільшення відрізка ху до коордінаті точки х нужно Додати позитивне число. Другий Кінець відрізка залішімо поки па місці. Подвійне ставленого при цьом зменшіть, так як
Для іншого кінця відрізка доказ аналогічно. У результате отрімуємо нерівності [А, c, х, Y]=[А, c, laquo ;. Х, у] [С, b, х, Y]=[C raquo ;, b, х, у] Отже, [А, c, х, Y] [С, b, х, Y] gt; [А, c, laquo ;. Х, у] [c raquo ;, b, х, у]=[a, b, x, y], т.е p (a, c) + p (c, b) gt; p (a, b).
Геометрія Лобачевського, як и сферична геометрія и геометрія площіні, має й достатньо велику групу ізометрій, а самє, будь-яку точку А можна перевести в будь-яку іншу точку В і при цьом перевести будь-яку пряму , что проходити через точку А, в будь-яку пряму, что проходити через точку В. Щоб довести це, достаточно перевіріті, что існує превращение площини, Пожалуйста зберігає Подвійне ставленого, переводити Сейчас коло в собі и переводити внутрішню точкуА в будь-яку іншу внутрішню точку В. Справді, таке превращение є ізометрією. А для того, щоб перевести будь-яку пряму в будь-яку іншу пряму, можна крапкуА перевести в центр Про кола, а потім точку О перевести в точку В. При цьом будь-яку пряму, что проходити через точку О, можна поворотом перевести в будь-яку іншу пряму, что проходити через точку О.
Теорема 2.Існує превращение площини, Пожалуйста зберігає Подвійне ставленого, переводити Сейчас коло в собі и переводити его центр в довільну внутрішню точку. Доказ. Розглянемо прямий круговий конус з вершиною S. Перетин конуса площинах, перпендікулярної его осі, є колом з діаметром PQ и центром О. Розглянемо такоже перетин конуса площинах, что проходити через точку О и перпендікулярній площіні SPQ (Конус ми Вважаємо нескінченнім в одну сторону). Если точка Q Належить інтервалу QR (Мал. 12), то Розглянуто переріз є еліпсом.
Рис. 16
На площіні ^ П laquo ;, что містіть цею ЕЛІПС, и на площіні П, яка містіть окружність з діаметром PQ, можна ввести координати так, что коло и ЕЛІПС співпадуть при ототожненні точок з Однаково координатами. При цьом в якості качана координат ми віберемо відповідно центр еліпса и центр кола, а в якості осі Ох віберемо Прямі P Q 'і PQ. Тоді Точкан, что лежить Всередині еліпса, ототожнюється з такою точкою O кола,
Р Про: OQ =PO: O Q.
При переміщенні точки Q по відрізку QR ставленого Р О: OQ змінюється від 1 до. Тому точка O может буті будь-Якою цяткою, что лежить Всередині відрізка O Q.
Шуканім перетворенням є композиція відображень f: П П і: ПП де f - Проекція з точки S, а g - ототожнення точок з Однаково координатами.
3.3 МОДЕЛІ Пуанкаре
Конформно-евклидова модель Пуанкаре - модель простору Лобачевського, предложено Анрі Пуанкаре в 1882 у зв'язку Із Завдання Теорії функцій комплексного змінного. Існують різновиди моделі - в колі та на півплощині для планіметрії Лобачевського, а такоже в Кулі и в півпросторі - для стереометрії Лобачевського, відповідно.
Модель Пуанкаре прімітна тім, что в ній куті зображаються звічайна кутамі (тобто модель Пуанкаре Конформності) На Відміну Від моделі Клейна, в Якій визначення кутів проводитися набагато складніше. 1.Модель Пуанкаре в колі У моделі Пуанкаре в колі за площинах Лобачевського пріймається внутрішність кола (рис.14) в евклідовому пространстве; межа даного кола (коло) назівається «абсолютом». Роль прямих віконують містяться в цьом колі дуги Кіл (a, b, b '), перпендикулярному абсолюту, и его діаметрі; роль рухів - превращение, одержувані комбінаціямі інверсій относительно Кіл, дуги якіх службовців прямими.
з'ясуємо, як влаштовані Прямі в моделі Пуанкаре. Хорде АВ відповідає перетин південній півсфері площинах, перпендікулярної ЕКВАТОР. Це перетин представляет собою півколо, перпендикулярну екваторіальній окружності (рис. 13). При проекції з полюса на екваторіальну площинах ця півколо переходити у дугу кола, перпендікулярній екваторіальній окружності. Таким чином, для моделі Пуанкаре в колі прямими є дуги Кіл перпендикулярно граничної кола даного кола.
Для моделі Пуанкаре Сейчас коло Зручне вважаті одінічнім колом на Комплексній площіні.
Для точок КОМПЛЕКСНОЇ площіні, як и для точок речовій прямий, можна Розглянуто Подвійне ставленого У цьом випадка Подвійне ставлен...
