ого є, Взагалі Кажучи, комплексним числом.
Неважко переконатіся, что если точки Z и W лежати на хорді А B, aZ и W - Відповідні точки моделі Пуанкаре, то | [А, В, Z, W] |=| [А, В , Z, W] | 2. Справді, стереографічна Проекція є ограниченной просторової інверсії, тому вона зберігає Подвійне ставленого. Крім того, AZ: ZB== AC: BC Таким чином, | l п [А, В, Z, W] |=2 | ln | [А, В, Z laquo ;, W ] | |. p (Z, W)=| l п [А, В, Z, W] |. Тому p (Z laquo ;, W )=2 | ln | [А, В, Z ', W] | |.
За аналогією з нескінченнім сімейством різніх Сферичність геометрії (для різніх радіусів R ми отрімуємо Різні геометрії) можна отріматі нескінченне Сімейство геометрій Лобачевського, поклал p (Z, W)=| L п [A, В, Z , W] | .Роль параметра св геометрії Лобачевського в чому аналогічна роли радіуса R у сферічній геометрії.
метрики ds площіні Лобачевського в моделі Пуанкаре в одінічному колі є:
Де x и y - осі абсцис и ординат, відповідно. Аналогічно, в моделі Пуанкаре в Кулі роль абсолюту Виконує гранична сфера в трівімірному евклідовому пространстве, а простором Лобачевського є внутрішність Кулі. [6]
. МОДЕЛІ Пуанкаре на півплощіні и в півпросторі
У моделі Пуанкаре на півплощіні за площинах Лобачевського пріймається верхня напівплощіна. Пряма, что обмежує напівплощіна (тобто вісь абсцис), назівається «абсолютом». Роль прямих віконують містяться в Цій півплощині півкола з центрами на абсолюті и почінаються на абсолюті перпендікулярні Йому Промені (тобто вертикальні Промені). Роль рухів - превращение, одержувані композіцією кінцевого числа інверсій з центром на абсолюті и осьовіх сіметрій, осі якіх перпендікулярні абсолюту.
Ця модель геометрії Лобачевського виходим, відображенням одінічного кола на верхню напівплощіна Н={х + i у | У gt; 0} помощью дробів лінійного відображення. Для цієї мети годитися, например, відображення. Справді,
дробів лінійні превращение переводящем Прямі та кола в Прямі та кола. Крім того, смороду зберігають куті. Тому у верхній півплощині Н гіперболічнімі прямими є вертикальні Промені и півкола, центри якіх лежати на дійсній осі.
дробів лінійні відображення зберігають Подвійне ставленого, того відстань между точками в моделі Пуанкаре у верхній півплощині візначається Наступний чином. Нехай гіперболічна пряма АВпідходіть до дійсної осі в точках X и Y (Рис. 15). Тоді р (А, В)=з | ln [A, B, X, Y] |.
У тому випадка, коли гіперболічна пряма є евклідовім Променю, покладемо Y=тобто. Для позитивного променя уявної осі формула для обчислення гіперболічного відстані пріймає особливо простий вигляд: p (ia, ib)=c | ln (a/b) |. [8]
з'ясуємо тепер, як влаштовані руху площіні Лобачевського. Будь-яке дрібно-Лінійне превращение, что зберігає верхню напівплощіна Н, є рухом площіні Лобачевського. Нехай а, b, c, d. Легко перевіріті, что відображення, Де ad - bc gt; 0, І, Де ad - bc lt; 0, зберігають верхню напівплощіна. Справді,
Метрика ds площіні Лобачевського в моделі Пуанкаре у верхній півплощині має вигляд:
Відповідно, в моделі Пуанкаре в півпросторі роль абсолюту Виконує площинах в трівімірному евклідовому пространстве, а простором Лобачевського є лежачими на Цій площіні півпростір.
Введення тихий чі других координат дозволяє отрімуваті Різні аналітичні моделі площини Лобачевского. А. Пуанкаре булу предложено (1887 рік) модель геометрії Лобачевського як геометрії плоских діаметральні перерізів на одній з порожнін двуполостного гіперболоїда, якові можна трактуваті І як геометрію сфері чистої мнимого радіуса в псевдоевклідовом пространстве. Зазначені моделі узагальнюються на випадок n-мірного простору.
4. Практичне! Застосування геометрії Лобачевського
.1 Теорема Піфагора
Теорема. Для всякого прямокутній трикутника площини Лобачевського віконується Рівність ch c=ch a - ch b, де a, b - довжина катетів, c - довжина гіпотенузі цього трикутника, а ch x=x=(гіперболічній косинус).
Доказ. Скорістаємося моделлю Пумнкаре площини Лобачевского на напівплощіні Евкліда. Вважатімемо (дів. Малюнок нижчих), что вершин A, B, C цього прямокутній трикутника відповідають комплексні числа де оскількі цього всегда можна добитися помощью Деяк неевклідова Рухі.
Використовуючи формулу
Рис. 17
Для обчислення неевклідова відстані между точками z и w в H2, отрімуємо, что
Почленно перемножування двох Першів СПІВВІДНОШЕНЬ и приводити, як по...
