3.1 Модель (інтерпретація) Бельтрамі
Еудженіо Бельтрамі (1835-1900) знайшов модель для геометрії НеЕвкліда, показавши у своїй работе Досвід інтерпретації геометрії (1868р.) НеЕвкліда, что вместе с площинах, на якіх здійснюється геометрія Евкліда, и Сферичність Поверхня, на Які діють формули сферічної геометрії, існують и Такі реальні поверхні, названі Їм псевдосферу (рис.23), на якіх частково здійснюється планіметрія Лобачевського. Известно, что сферу можна отріматі Обертаном півкола вокруг свого діаметру. Подібно до того, псевдосфера утворюється Обертаном Лінії FCE, что назівається трактриса, вокруг ее осі АВ (рис.22). Ітак, псевдосфера - це поверхні в звічайна реальному прос?? орі, на якому віконуються много аксіом и теореми планіметрії НеЕвкліда Лобачевського. Например, если накресліті на псевдосфері трикутник, то легко угледіті, что сума его внутренних кутів менше 2 ?. Сторона трикутника - це дуги псевдосферу, что дають найкоротшу відстань между двома ее точками и віконують ту ж роль, якові віконують Прямі на площіні. ЦІ Лінії, что назіваються геодезичних, можна отріматі, затіснувші туго натягнуту и ??Політило ФАРБЕН або крейдою нитка, у вершинах трикутника. Таким чином, для планіметрії Лобачевського булу Знайду реальна модель - псевдосфера. Формули новой геометрії Лобачевського нашли конкретнішими Тлумачення. Ними можна Було користуватись, например, для вирішенню псевдосферічніх трікутніків. Псевдосферу, якові мі назвали моделлю raquo ;, Бельтрамі назвавши інтерпретацією (Тлумачення) геометрії Чи не Евкліда на площіні.
Згідно, З РОЗВИТКУ І Вступ в математику аксіоматічного методу, під інтерпретацією (чі моделлю) деякої системи аксіом стали розуміті будь-яку безліч про єктів, в якіх ця система аксіом знаходиься свое реальне втілення, тобто, будь-яка сукупність про єктів, відношення между Якими Повністю співпадають з тимі, Які опісуються в Цій сістемі аксіом. При цьом вважають, что если для деякої системи аксіом існує або можна побудуваті інтерпретацію (модель), то ця система аксіом несуперечливості, тобто, чи не лишь Самі аксіомі, но и будь-які теореми, на них ті, что логічно грунтуються Ніколи НЕ могут суперечіті один іншій.
3.2 Модель Келі - Клейна площіні Лобачевського
Модель Келі - Клейна - перша модель всій площіні Лобачевського. Помощью неї удалось довести несуперечність геометрії Лобачевського в пріпущенні несуперечності Евклідової геометрії.
Щоб перейти до побудова однієї з моделей геометрії Лобачевського покажемо, як помощью Подвійного отношения можна візначіті «відстань» между точкаміа и b інтервалу (x, у). Покладемо
Легко перевіріті, що таке визначення має сенс, тобто
Справді, х-а lt; 0, х-b lt; 0, у-а gt; 0, у-b gt; 0. Ясно такоже, что р (а, а)=0 і р {а, b) при i при. Крім того. Р (а, b)=р (b, а ,. Так як
Зазначімо, что ln [a, b, x, y]=- ln [a, b, x, y], тому немає необхідності розрізняті точки х і у, т. е. задаваті орієнтацію інтервалу (х, у) .З тотожності
Віпліває, что ± р (а, b) ± р (b, с) ± р (с, а)=0. Більш ретельна перевірка показує, что если точка з лежить между а і b, то р (а, с) + р (з, b)=р (а, b).
Відстань р (а, b) НЕ змінюється при проектних перетвореності прямий, что зберігають Інтервал (х, у).
Візначімо модель Клейна площіні Лобачевського. Точками моделі Клейна є внутрішні точки Деяк кола. Відстань между точками а і b візначається як р (а, b) для інтервалу (х, у), де х і у точки Перетин прямої ab з граничною окружністю даного кола. Если точки розташовані в такому порядку, як на рис. 10, то ln [a, b, x, y] gt; 0. тобто р (а, b)=ln [a, b, x, y].
Рис. 14
Теорема 1.У моделі Клейна прямими є Хорді кола. Доказ. Потрібно довести, что р (а, c) + р (c, b) gt; р (а, b), причому если точка зне лежить на відрізку (a, b), то р (а, с) + р (c, b) gt; р (а, b). Нехай Промені ab и ba перетінають коло в точках х і у відповідно, Промені ас и c а в точках х 1 і y 1, Промені cb и bc в точках хі у (Рис. 11). Тоді точка x Перетин хорд х х і ху лежить на відрізку xb, а точка у Перетин хорд y у і ху лежить на відрізку ау. Нехай р - точка Перетин прямих х х і y у, C - точка Перетин прямих р c и ху. Точка c 'лежить на відрізку ab.
Рис. 15
Подвійне ставленого зберігається при проекції одній прямій па іншу. Тому [А, c, х, Y]=[А, c, laquo ;. Х raquo ;, у ] [С, b, х, Y]=[C raquo ;, b, х laquo ;, у ] (Мі розглядаємо проекції з точки р на пряму ху).
Покаже...
