>. прямокутний (т.к COBD, BD || CECECO)
. Проводимо висоту CF - вона є медіаною і бісектрисою
AE=2AF=2h
Sтр.=+ AD=AE (т.к BCED- паралелограм) BC=DEтр.=h=
Відповідь:
Додаткове побудова 3. продовжити на 1/3 довжини всієї медіани і добудувати до паралелограма
B
E
A1
O
B1 C
Завдання №3. Довжина трикутника виражається формулою a=2/3? 2 (mb2 + mc2) -ma2; де ma, mb, mc, довжини медіан трикутника. Доведіть.
Доказ:
Відзначимо на медіані AD точку O перетину медіан трикутника; відповідно до властивості (трьох медіани трикутника перетинаються в одній точці, яка ділить кожну медіану щодо 2: 1, рахуючи від вершини трикутника), вона ділить AD відносно AO: OD=2: 1
Продовжимо OD на відстань DF=OD=1/3ma і з'єднаємо точку F з B і C
Тепер складемо рівняння, що зв'язує довжини сторін BO=2/3mb, CO=2/3mc і діагоналей OF=2/3ma, BC=a паралелограма OBFC
(2/3ma) 2 + a2=2 ((2/3mb) 2+ (2/3mc) 2)=2/3? 2 (mb2 + mc2) -ma2
що потрібно було довести.
Додаткове побудова №4. Якщо в задачі дана довжина всіх трьох медіан, то як правильно, для того щоб знайти площу трикутника, продовжують все медіани на1/3 її довжини і добудовують до паралелограма.
Завдання №4. Медіани трикутника ABC, AA1=3см, BB1=4см, CC1=5 см Знайти площу трикутника ABC
Рішення:
Продовжимо медіани AA1 BB1 і CC1 на довжину відрізків A1E, B1N, C1M рівні за довжиною OA1, OB1, OC1 відповідно матимемо шість рівновеликих трикутників MBO, MOA, AON, NOC, COE, OEB боку яких дорівнюють 2/3 довжини медіан
SOBE == mb; OE=AA1; BE=mc=· 4=OE=· 3=2=· 5=S== SBOA1 + SCOA1=SBOA1 + SBA1E=SBOE=3SBOE=8cм
Відповідь 8 cм
Додаткове побудова 5. Якщо дано чотирикутник, у якого суми протилежних сторін рівні, то в нього вписується коло.
Завдання №5. У трапеції ABCD (AB і CD підстави) менше підставу одно a, кути, прилеглі до цього підстави, рівні, а діагоналі взаємно перпендикулярні. Знайти площу трапеції.
Дано: - трапеціяі CD - підстави
Знайти S трапеції
Рішення:
.Додаткові побудова: будую описану окружність (т.к трапеція рівнобедрена, то можна описати коло)
.Sтр.=
. Нехай QB=x, AB=2x (т.к), AQ=y
За теоремою Піфагора:
. BQ=QC=x
За теоремою Піфагора з BQC: + x=a
. AQ=QD=y
За теоремою Піфагора з AQD:
7. BD=BQ + QD=
. S=
Відповідь: [8]
Аналітичні методи
Один з основних аналітичних методів вирішення планиметрических завдань є векторний метод. Орієнтовна схема рішення геометричних задач векторним методом:
Прочитати задачу, виділити умова і вимога завдання, виконати креслення.
Ввести в розгляд вектори (вибрати базис - дві неколінеарних вектора на площині, три некомпланарних вектора в просторі).
«Перевести» геометричне умову задачі на мову векторів. Вектори, необхідні для вирішення, виразити через базисні.
«Перевести» геометричне вимога завдання на мову векторів (можна усно).
За допомогою векторної алгебри (перетворень векторних виразів) перейти від векторного умови задачі до вимоги.
Отриманому векторному висловом дати геометричне тлумачення. [Лекції з Тімом МДПУ 2012]
За допомогою даного методу можна вирішувати геометричні задачі представлені у другій частині модуля «Геометрія». Наведу приклад одного з рішень заснованого на даному методі:
Задача№ 6. На катетах прямокутного трикутника АВС з прямим кутом С побудовано квадрати АСQP і BCRS. Точка М середина гіпотенузи АВ. Довести, що відрізки СМ і QR перпендикулярні.
Рішення:
) Так як М середина АВ, то =? (+)
)=
)? =(+)? ()=(?? +??)
Так як CA і CQ перпендикулярні, то? =0; аналогічно? =0.
З огляду на це, отримаємо:? =(??)=
=(CA? CR? cos180 ° - CB? CQ? cos180 °)=(CA? CR + CB? CQ)
А так як CR=CB і CQ=CA, то? =(CB? CA-CA? CB)=0.
) Отже,? =0, тому відрізки QR і CM перпендикулярні.
Що й потрібно було довести.
Також до аналітичного методу ставитися метод координат за допомогою якого можна вирішувати планіметричних завдання в ДПА;
Орієнтовна схема рішення геометричних задач методом координат:
Прочитати задачу, виділити умова і вимога завдання, виконати креслення.
Вибрати систему координат (найбільш раціональним способом).
Записати координати точок, необхідних для вирішення. «Перевести» геометричне умову задачі на мову координат.
«Перевести» геометричне вимога завдання на мову координат (можна усно).
За допомогою алгебраїчних перетворень перейти від умови задачі до вимоги.
Отриманому алгебраическому висловом дати геометричне тлу...
