мачення. [Лекції з Тімом МДПУ 2012]
Наведу приклад одного з рішень заснованого на даному методі:
Завдання №7. У прямокутному трикутник проведені медіани гострих кутів. Обчисліть косинус кута між ними.
Рішення: 1. Введемо систему координат так, в цьому випадку вершини трикутника матимуть координати: С (0,0), А (а, 0), В (0, а), а середини катетів:. (Тут а - довжина катета.)
. Обчислимо координати векторів і.
. Тепер використовуємо формулу для обчислення косинуса кута між векторами. (Цей кут збігається з кутом між медианами.)
Відповідь:.
Дані методи вирішення планиметрических завдань допоможуть учням найбільш продуктивно підготується до вирішення модуля «Геометрія». Учень повинен ознайомитися з певним набором досить важких геометричних задач, навчитися вирішувати завдання, слідуючи відомим зразкам. В геометрії на відміну від алгебри алгоритмів дуже мало, майже немає. Тому при навчанні зростає значення опорних завдань, узагальнюючих корисний факт, або ілюструє метод або прийом.
§ 3. Спеціальні прийоми рішення планіметричних задач шкільного курсу геометрії
повторення математика планіметричний урок
Метод площ
Метод площ (формули площ трикутників, багатокутників, властивості площ використовуються при вирішенні завдань і доказі теорем, в умовах і вимогах яких нічого не говориться про площах.)
Основні прийоми:
Лінійні (кутові) елементи і відповідності між ними можна знайти, застосовуючи різні формули для обчислення площі трикутника (багатокутника).
Якщо трикутник (багатокутник) розбитий на кілька трикутників, то можна використовувати властивість про те, що сума площ частин дорівнює площі вихідного багатокутника.
Ставлення відрізків можна замінити відношенням площ трикутників.
Якщо кут одного трикутника дорівнює куту іншого трикутника, то можна використовувати той факт, що ставлення творів сторін, що укладають рівні кути, дорівнює відношенню площ відповідних трикутників.
При доказі геометричних нерівностей можна використовувати нерівність для трикутника: 2s lt; аb. [9]
Також можна використовувати теореми дозволяють вирішувати планіметричних завдання:
Теорема 1. Якщо трикутники мають спільну вершину і їх підстави лежать на одній прямій, то площі трикутників пропорційні довжині їх підстав:
Завдання №8. У трикутнику АВС проведені медіани, М - точка їх перетину. Знайти площу трикутника АВМ, якщо площа вихідного трикутника дорівнює 9.
Рішення:
Теорема 2. Якщо трикутники мають спільну сторону, то їх площі пропорційні довжині відрізків, висікаються продовженням їх загальної сторони на прямій, що сполучає їх вершини:
Завдання №9. Діагоналі розділили чотирикутник на трикутники, площі трьох з яких дорівнюють 10, 15 і 24. Знайти площу четвертого трикутника.
Рішення:
У сучасних підручниках, посібниках і різного роду задачниках, на жаль, приділяється мало уваги психологічним чинникам, впливає на успішність навчання математиці. А саме, виховання в учнів впевненості у своїх силах, розвиток вміння користуватися минулим досвідом.
Беруться два загальновідомі твердження, які є базовими. На основі цих тверджень шикуються дві «ланцюжка» завдань по наростаючому рівнем складності. Вирішення завдань в цих «ланцюжках» засновані на базових твердженнях і на вирішенні попередніх завдань.
Твердження 1. Два трикутника є рівновеликими, якщо рівні їх висоти і підстави.
Завдання 10. Доведіть, що діагональ паралелограма ділить його на два рівновеликих трикутника.
Рішення: Висоти трикутників ABD і BCD рівні. AD=BC (по властивості паралелограма). Тоді в силу твердження 1 S? ABD=S? BCD
Завдання 11. На стороні CD паралелограма ABCD взята довільна точка Е. Знаючи, що S? ABE=S, знайдіть площа паралелограма ABCD.
Рішення: Проведемо додаткове побудова: КЕ? AD. Тоді з завдання 1 випливає, що S? KBE=S? CBE, а S? AKE=S? ADE. Звідси SABCD=2S.
Завдання 12. У паралелограмі ABCD на сторонах AB і CD взяті довільні точки M і N. Доведіть, що площа чотирикутника KMEN дорівнює площі чотирьох утворилися трикутників.
Рішення: Проведемо відрізок КЕ. Тоді в силу задачі 2 S? KME=S? KMB + S? MEC, а S? KNE=S? AKN + S? EDN
Звідси S? KMEN=S? KMB + S? MEC + S? KNE + S? EDN
Завдання 13. Усередині паралелограма ABCD взята довільна точка О. Знаючи площу трьох трикутників з вершиною в точці О, знайдіть площа четвертого трикутника.
Рішення: Нехай S? ADO=S1, S? ABO=S2,? BOC=S3. Зробимо додаткове побудова: КЕ? АВ.
Введемо наступні позначення:? EOD=a, S? KCO=b, S? BKO=c, S? AEO=d.
Тоді S2=с +...
