Варіаційний принцип Ферма в оптиці
РЕФЕРАТ
Зміст
Введення
1.Теорема Ферма про необхідну умову екстремуму. Принцип Ферма
2.Роль принципу Ферма в оптиці
3.Вивод законів геометричної оптики з принципу Ферма
4.Прімер застосування принципу Ферма в поясненні деяких фізичних явищ
Висновок
Список літератури
Введення
Багато закони фізики можуть бути виведені з твердження, що для істинного розвитку досліджуваного процесу певна характеристична величина досягає мінімального (у більш загальному випадку екстремального) значення в порівнянні з її значеннями для деяких інших можливих течій цього процесу. Щоб математично сформулювати це твердження, необхідно ввести в розгляд рівняння, що описують даний процес, і за допомогою зміни (варіації) їх форми домогтися досягнення екстремального значення обчислюється характеристичної величини. Ті рівняння, за яких це екстремальне значення досягається, і висловлюють істинні закони досліджуваного явища. У такому випадку дане твердження приймають за вихідне і називають варіаційним початком або варіаційним принципом [1].
Варіаційний принцип геометричної оптики був запропонований П'єром Ферма (1601-1665) в 1662 році.
Ферма вніс значний внесок у становлення і розвиток різних галузей математики - від теорії чисел до теорії ймовірностей. Ми коротко обговоримо його теорему про необхідну умову існування екстремуму диференційованої функції і спробуємо встановити зв'язок цієї теореми з фундаментальним принципом геометричної оптики, що також належить Ферма.
Метою реферативної роботи є вивчення варіаційного принципу Ферма в оптиці.
Предмет дослідження: проходження світлової хвилі через однорідні і неоднорідні середовища.
1. Теорема Ферма про необхідну умову екстремуму. Принцип Ферма
Ця важлива теорема диференціального обчислення настільки проста, що вивчається в шкільному курсі Алгебра і елементарні функції raquo ;. У сучасних термінах теорема формулюється так: якщо функція f (x), визначена в околі точки x, диференційована в цій точці і має при x=x екстремум, то f '(x)=0.
Теорема отримана в 1628-1629 роках при вирішенні задачі на відшукання найбільших і найменших значень многочленів, а відома стала лише десять років опісля з листа до Р.Декарту ( Про вершині параболи ), переданого через М. Мерсенна в 1638 році. Отриманому результату Ферма присвятив також роботу Метод відшукання найбільших і найменших значень (1637), яка, однак, була опублікована лише в 1679 році.
Яким же чином отримав Ферма свою теорему майже за півстоліття до винаходи похідною та диференціального числення? Він звернув увагу на те, що в досить малій околиці точки екстремуму (точки локального мінімуму або локального максимуму) приріст функції зберігає знак незалежно від знака збільшення аргументу: у точці суворого мінімуму прирощення позитивно, а в точці максимуму негативно. Тому для відшукання екстремуму Ферма вивчав залежність приросту функції від малих збільшень аргументу. Покажемо, наприклад, як за методом Ферма слід було шукати вершину параболи y== x, тобто мінімум функції f (x)=x. Розглянемо приріст функції f (x) в довільній точці x при малому приращении аргументу h. Отримаємо
f (x + h) - f (x)=(x + h) - x=2xh + h (1)
Щоб приріст функції f (x) не залежало від h, потрібно, щоб виконувалася рівність 2xh=0, тобто 2x=0. Значить, x=0 і вершина параболи y=x має координати (0, 0). З погляду диференціального обчислення ми шукали таке x, що f '(x)=2x=0. Ферма не займався вивченням достатніх умов екстремуму, але відзначимо все-таки, що в силу нерівності f (0 + h) - f (0)= h=0 можна стверджувати наявність в точці x=0 локального мінімуму функції. Розглянемо ще один приклад. Нехай g (x)=x (1 - x). Маємо
g (x + h) - g (x)=x + h - (x + h) - x + x=(1 - 2x) h - h. (2)
Найбільше значення функція g (x) має в точці x, де 1 - 2x=0, тобто при x=1/2. При цьому g=1/4.
Своїм відкриттям Ферма перевів великий клас майже нерозв'язних завдань в розряд цілком вирішуваних, оскільки для відшукання екстремуму диференційованої функції виявилося достатнім розглядати замість усього безлічі визначення функції лише безліч її критичних точок (точок, в яких похідна функції звертається в нуль).
Користуючись методом Декарта для відома деяких геометричних задач до задач дослідження величин і своїм методом відшукання найбільших і найменших значень, Ферма успішно вирішив завдання, частина з яких поставив сам.
Можна з упевненістю припус...
