Контрольна робота
з дисципліни «ЕОМ-експеримент і машинна обробка інформації»
Тема: Чисельне інтегрування
Анотація
У даній роботі будуть розглянуті три методи наближеної інтеграції певного інтеграла: метод прямокутників, метод трапецій і метод Сімпсона. Всі ці методи будуть детально виведені з оцінкою похибки кожного з них. У роботу включено наочне застосування знаходження визначеного інтеграла методом прямокутників і трапецій. У матеріалі є ілюстрації, за допомогою яких, можна більш глибоко вникнути в суть даної теми.
Введення
Основна мета цієї роботи полягає в ознайомленні з чисельним інтегруванням. Суть чисельного інтегрування полягає в тому, що подинтегральную функцію замінюють інший наближеною функцією, так, щоб, по-перше, вона була близька до первісної функції і, по друге, інтеграл від неї легко обчислювався. Методи чисельного інтегрування, засновані на заміні підінтегральної функції інтерполяційним многочленом. Це дозволяє приблизно замінити визначений інтеграл інтерполяційної сумою. Залежно від способу її обчислення виходять різні методи чисельного інтегрування, такі як:
метод прямокутників;
метод трапецій;
метод Сімпсона.
Зокрема при виконанні даної роботи використовувався метод трапецій.
1. Математична модель
.1 Визначення інтеграла і його геометричний зміст
На початку дізнаємося, що таке певний інтеграл. Можливі два різних підходи до визначення певного інтеграла. Приріст будь-який з перетворених функцій при зміні аргументу від до називають певним інтегралом від a до b функції f і позначається. Причому функція є первісною для функції f на деякому проміжку D, а числа а і b належать цьому проміжку. Це можна записати наступним чином:
(1)
це формула Ньютона-Лейбніца.
Рис. 1
Якщо при будь-якій послідовності розбиття відрізка [a; b] таких, що (n ??) і при будь-якому виборі точок інтегральна сума прагне до одного і того ж кінцевого межі А, то це число А і є певний інтеграл, т. е.
(2)
Де - початок розбиття довільна точка з відрізка сума всіх творів. Простими словами, визначений інтеграл є межа інтегральної суми, число членів якої необмежено зростає, а кожний доданок прямує до нуля.
1.2 Геометричний зміст
Рис. 2
Будь-яка безперервна на відрізку [a, b] функція f інтегровна на відрізку [a, b], функція f неотрицательна, але певний інтеграл чисельно дорівнює S криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції f, віссю абсцис і прямими
і,.
1.3 Наближені методи обчислення
Як ми вже відзначили, якщо функція f неперервна на проміжку, то на цьому проміжку існує функція така, що, тобто існує первісна для функції, але не всяка елементарна функція має елементарну первообразную. Пояснимо поняття елементарної функції.
Функції: статечна, показова, тригонометрическая, логарифмічна, зворотні тригонометричним називаються основними елементарними функціями. Елементарної функцією називається функція, яка може бути задана за допомогою формули, що містить лише кінцеве число арифметичних операцій і суперпозиций основних елементарних.
Буває, що на практиці стикаються з обчисленням інтегралів від функцій, які задані табличними і графічними способами, або інтеграли від функцій, первісні яких виражаються через елементарні функції дуже складно, що незручно, довго і не раціонально. У цих випадках обчислення певного інтеграла за формулою Ньютона-Лейбніца (1) зводить обчислення певного інтеграла від якої-небудь функції до знаходження її первісної. Значить, якщо первообразная не елементарні, треба обчислити певний інтеграл якось по іншому, тому вдаються до різних методів наближеного інтегрування.
В основі наближених методів інтегрування лежить геометричний сенс певного інтеграла, який розглянутий вище.
Формул наближеної інтеграції існує багато. У цій роботі буде розглянуто три методу наближеного інтегрування: метод трапецій, метод прямокутників і метод Сімпсона.
Формула прямокутників
Тепер розглянемо перший вид наближеного обчислення:
потрібно обчислити певний інтеграл:. Нехай на відрізку [a, b] задана неперервна функція. Розділимо відрізок [a, b], аналогічно як у формулі трапецій: точками на n рівних частин довжини, де.
Рис....
