3
Позначимо через y0, y1, y2, ..., yn - 1, yn значення функції в точках тобто, якщо записати в наочній формулою:
У даному способі подинтегральную функцію замінюємо функцією, яка має ступінчастий вигляд (на рис. виділена).
Складемо суми:
;.
Кожне складова цих сум висловлює площа, отриманих прямокутників з основою.
Кожна з цих сум є інтегральною сумою для на відрізку [a, b], і дорівнює площі східчастих фігур, а значить наближено виражає інтеграл. Винесемо з кожної суми, отримаємо:
Висловивши x, отримаємо остаточно:
(3)
(3 *)
Це і є формули прямокутників. Їх дві, так як можна використовувати два способи заміни підінтегральної функції. Якщо - позитивна і зростаюча функція, то формула (3) висловлює S фігури, розташованої під графіком, складеної з вхідних прямокутників, а формула (3 *) - площа ступінчастою фігури, розташованої під графіком функції складеної з виходять трикутників.
Помилка, чинена при обчисленні інтегралів за формулою прямокутників, буде тим менше, чим більше число n (тобто чим менше крок поділу)
Для обчислення похибки цього методу використовується формула:
, де
Результат отриманий за формулою (3) завідомо дає велику площу прямокутника, так само за формулою (3 *) дає свідомо меншу площу, для здобуття середньої результату використовується формула середніх прямокутників:
(3 **)
Формула трапецій.
Рис. 4
Візьмемо певний інтеграл
,
де - безперервна подинтегральная функція, яку ми для наочності будемо припускати позитивною. При обчисленні інтеграла за допомогою формули трапецій подинтегральная функція замінюється функцією, графік якої являє собою ламану лінію (на рис. 1 червоним кольором), ланки якої з'єднують кінці ординат і Тоді площа криволінійної трапеції, обмеженої лініями x=a,,,, а значить ( слідуючи з геометричного сенсу), і значення потрібного нам інтеграла, приблизно дорівнює сумі площ звичайних трапецій з підставами і, і висотою, оскільки (якщо більш звично виражати для нас) це, a при розподілі відрізка на n рівних відрізків за допомогою точок. Прямі розбивають криволінійну трапецію на n смужок. Беручи кожну з цих смужок за звичайну трапецію, одержуємо, що площа криволінійної трапеції приблизно дорівнює сумі звичайних трапецій.
Рис. 5
Площа крайней смужки ліворуч, як помниться зі шкільного курсу геометрії, дорівнює добутку півсуми основи на висоту.
Отже, запишемо сказане вище в математичному вигляді:
(4)
Формула (4) і є формула трапецій
Для визначення похибки інтеграла обчисленого за допомогою формули трапецій використовується формула:
, де
Формула Сімпсона (формула парабол).
Існує два підходи до формули Сімпсона. В одному використовується парабола в іншому немає.
А) з використанням параболи.
Розділимо відрізок [a; b] на парне число рівних частин. Площа криволінійної трапеції, відповідної першим двом відрізкам [x0, x1], [x1, x2] і обмеженою заданої кривої, замінимо площею криволінійної трапеції, яка обмежена параболою другого ступеня, що проходить через три точки M0 [x0, y0], M1 [x1, y1], M2 [x2, y2] і має вісь, паралельну осі Oy. Таку криволінійну трапецію називають параболічної трапецією.
Рівняння параболи з віссю, паралельної осі Oy, має вигляд:
.
Рис. 6
Коефіцієнти A, B і C однозначно визначаються з умови, що парабола проходить через три задані точки. Аналогічні параболи будуються і для інших пар відрізків. Сума параболічних трапецій і дасть наближене значення інтеграла. Спочатку обчислимо площа однієї параболічної трапеції. Для цього доведемо лему.
Лемма: якщо криволінійна трапеція обмежена параболою, віссю Ox і двома ординатами, відстань між якими дорівнює 2h, то її площа дорівнює:
(5)
де і - крайні ординати, а - ордината кривої в середині відрізка.
Рис. 7
Доказ:
Розташуємо допоміжну систему координат так, як показано на рис. Коефіцієнт в рівняння параболи визначаються з наступних рівнянь:
Якщо, то
Якщо, то (6)
Якщо, то
Вважаючи коефіцієнти A, B, C відомими визначимо площа параболічної трапеції за допомогою певного інтеграла:
з рівності (6) випливає, що
отже:
ч.т.д. користуючись формулою (5), можна написати наближені рівності, ...
