Завдання 1
З партії електроламп відібрано 100 штук для визначення терміну їх роботи. Вибіркове середнє значення цього параметра виявилося 900 годин. Знайти интервальную оцінку цього параметра ламп, якщо середнє квадратичне відхилення їх нормальної роботи відомо і одно 20 годин.
) Взяти коефіцієнт довіри?=0,95;
) Взяти коефіцієнт довіри?=0,98;
Рішення:
коефіцієнт довіри?=0,95
Довірчий інтервал для генерального середнього.
Оскільки n gt; 30, то визначаємо значення tkp за таблицями функції Лапласа.
У цьому випадку 2Ф (tkp) =?
Ф (tkp) =?/2=0.95/2=0.475
По таблиці функції Лапласа знайдемо, при якому tkp значення Ф (tkp)=0.475
tkp (?)=(0.475)=1.96
(900 - 3.92; 900 + 3.92)=(896.08; 903.92)
З імовірністю 0.95 можна стверджувати, що середнє значення при вибірці більшого обсягу не вийде за межі знайденого інтервалу.
коефіцієнт довіри?=0,98
Оскільки n gt; 30, то визначаємо значення tkp за таблицями функції Лапласа.
У цьому випадку 2Ф (tkp) =?
Ф (tkp) =?/2=0.98/2=0.49
По таблиці функції Лапласа знайдемо, при якому tkp значення Ф (tkp)=0.49
tkp (?)=(0.49)=2.34
(900 - 4.68; 900 + 4.68)=(895.32; 904.68)
З імовірністю 0.98 можна стверджувати, що середнє значення при вибірці більшого обсягу не вийде за межі знайденого інтервалу.
Завдання 2
Дослідити тип регресії між випадковими змінними x і y.
X11,21,41,61,822,22,42,62,8Y2,6672,7862,9533,1853,4953,9104,2714,8435,5816,769
Якщо відомо, що вона відповідає одному з наступних типів :) Лінійна функція: y=a + bx;
Лінійне рівняння регресії має вигляд y=bx + a
Система нормальних рівнянь.
an + b? x =? y? x + b? x 2 =? yx
Для наших даних система рівнянь має вигляд
a + 19 b=40.46
a + 39.4 b=83.83
Отримуємо:
3.3 b=6.96
Звідки b=2.1093
Тепер знайдемо коефіцієнт a з рівняння (1):
10a + 19 b=40.46
a + 19 2.1093=40.46
a=0.38=0.03838
Отримуємо емпіричні коефіцієнти регресії: b=2.1093, a=0.03838
Рівняння регресії (емпіричне рівняння регресії):
y=2.1093 x + 0.03838
Для розрахунку параметрів регресії побудуємо розрахункову таблицю (табл. 1)
xyx 2 y 2 x y12.6717.112.671.22.791.447.763.341.42.951.968.724.131.63.192.5610.145.11.83.53.2412.226.2923.91415.297.822.24.274.8418.249.42.44.845.7623.4511.622.65.586.7631.1514.512.86.777.8445.8218.951940.4639.4179.9183.83
Вибіркові середні.
Вибіркові дисперсії:
Середньоквадратичне відхилення
Коефіцієнт кореляції b можна знаходити за формулою, не вирішуючи систему безпосередньо:
Коваріація.
регресія емпіричний кореляція вибірковий
Розраховуємо показник тісноти зв'язку. Таким показником є ??вибірковий лінійний коефіцієнт кореляції, який розраховується за формулою:
У нашому прикладі зв'язок між ознакою Y фактором X вельми висока і пряма.
) Нелінійні функції: y=a + b/x (гіпербола);
гіперболічних рівнянь регресії має вигляд y=b/x + a
Після лінеаризації отримаємо: y=bx + a
Для оцінки параметрів? і?- Використовують МНК (метод найменших квадратів).
Система нормальних рівнянь.
n + b? (1/x) =? y? 1/x + b? (1/x 2) =? y/x
Для наших даних система рівнянь має вигляд
10a + 5.84 b=40.46
. 84 a + 3.81 b=21.51
Отримуємо:
0.42 b=- 1.96
Звідки b=- 5.3422
Тепер знайдемо коефіцієнт a з рівняння (1):
a + 5.84 b=40.46
a + 5.84 (- 5.3422)=40.46
a=71.66=7.1665
