Федеральне державне освітній бюджетна установа
вищої професійної освіти
«Фінансовий університет при Уряді Російської Федерації»
(Фінуніверсітет)
Смоленський філія Фінуніверсітета
Кафедра Математики та інформатики
Контрольна робота №1
з дисципліни «Економетрика»
Смоленськ +2014
1. Теоретична частина
Коваріація (кореляційний момент, коваріаційний момент) в теорії ймовірності в математичній статистиці міра лінійної залежності двох випадкових величин.
Значна кореляція між двома випадковими величинами завжди є свідченням існування деякої статистичної зв'язку в даній вибірці, але цей зв'язок не обов'язково повинна спостерігатися для іншої вибірки і мати причинно-наслідковий характер. Часто приваблива простота кореляційного дослідження підштовхує дослідника робити неправдиві інтуїтивні висновки про наявність причинно-наслідкового зв'язку між парами ознак, в той час як коефіцієнти кореляції встановлюють лише статистичні взаємозв'язки. Наприклад, розглядаючи пожежі в конкретному місті, можна виявити досить високу кореляцію між шкодою, який завдав пожежа, і кількістю пожежних, які брали участь у ліквідації пожежі, причому ця кореляція буде позитивною. З цього, однак, не випливає висновок «збільшення кількості пожежних призводить до збільшення заподіяного збитку», і тим більше не буде успішною спроба мінімізувати збиток від пожеж шляхом ліквідації пожежних бригад. У той же час, відсутність кореляції між двома величинами ще не означає, що між ними немає ніякого зв'язку. Наприклад, залежність може мати складний нелінійний характер, який кореляція не виявляються.
Деякі види коефіцієнтів кореляції можуть бути позитивними або негативними. У першому випадку передбачається, що ми можемо визначити тільки наявність або відсутність зв'язку, а в другому - також і її напрям. Якщо передбачається, що на значеннях змінних задано відношення строгого порядку lt;http://ru.wikipedia/wiki/%D0%9E%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D0%B0gt;, то негативна кореляція - кореляція, при якій збільшення однієї змінної пов'язано зі зменшенням інший. При цьому коефіцієнт кореляції буде негативним. Позитивна кореляція в таких умовах - це такий зв'язок, при якій збільшення однієї змінної пов'язано зі збільшенням іншої змінної. Можлива також ситуація відсутності статистичної взаємозв'язку - наприклад, для незалежних випадкових величин lt;http://ru.wikipedia/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%B7%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%B9)gt;.
Коефіцієнтом ковариации називається вираз:
cov (X, Y)=M [(X-MX) (Y-MY)]=M [XY-XMY-YMX + MX MY]=MXY - 2MX MY + MX MY=MXY-MX MY
Якщо випадкові величини XY незалежні, то їхній коефіцієнт коваріації дорівнює нулю, зворотне в загальному випадку невірно.
Математичної мірою кореляції двох випадкових величин служить кореляційне відношення або коефіцієнт кореляції R. У разі якщо зміна однієї випадкової величини не веде до закономірного зміни іншої випадкової величини, але призводить до зміни іншої статистичної характеристики даної випадкової величини, то подібна зв'язок не вважається кореляційної, хоча і є статистичною. Вперше в науковий обіг термін кореляція ввів французький палеонтолог Жорж Кюв'є в XVIII столітті. Він розробив «закон кореляції» частин і органів живих істот, за допомогою якого можна відновити вигляд викопної тварини, маючи в розпорядженні лише частина його останків. У статистиці слово «кореляція» першим став використовувати англійський біолог і статистик Френсіс Гальтон в кінці XIX століття.
Коефіцієнтом кореляції випадкових величин X і Y називається число:
X *=(X-MX) /? x Y *=(Y-MY) /? y
D (X ± Y)=M [X ± YM (X ± Y)] 2=M [X ± Y-MX? MY] 2=M [(X-MX) ± (Y-MY)] 2=M [(M-MX) 2 ± 2 (X-MX) (Y-MY) + (Y-MY) 2]=M (X_MX) 2 ± 2M (X-MX) (Y-MY) + M (Y-MY) 2=DX ± cov (XY) + DY
Слідство:
Якщо X і Y незалежні, то коефіцієнт коваріації дорівнює 0 і отже
(X ± Y)=DX ± DY
Якщо є дві вибірки x=(x 1, ..., x I) і y=(y 1, ..., y I), то можна розрахувати вибіркові значення коваріації і кореляції. Коваріація c розраховується за формулою
