Автономна Некомерційна Організація
Вищого Професійного Освіти
Смольного інституту РОСІЙСЬКОЇ АКАДЕМІЇ ОСВІТИ
Факультет ІТ
Реферат
з навчальної дисципліни: Додаткові глави вищої математики
на тему: Метод Ньютона і його модифікації
Студента: Астахової К.В.
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2014р.
Зміст
Введення
. Метод Ньютона
. Модифікації методу Ньютона
. Метод січних для нелінійного рівняння
. Метод хорд для нелінійного рівняння
. Спрощений метод Ньютона
. Модифікація методу Ньютона для системи двох рівнянь
. Метод локального положення
. Метод січних
. Метод Стефенс
. Уточнення методу Ньютона для випадку кратного кореня
Висновок
Список використаних джерел
Введення
У зв'язку з розвитком нової обчислювальної техніки інженерна практика наших днів все частіше і частіше зустрічається з математичними завданнями, точне рішення яких отримати вельми складно або неможливо. У цих випадках зазвичай вдаються до тих чи інших наближених обчислень. Ось чому наближені і чисельні методи математичного аналізу отримали за останні роки широкий розвиток і придбали виключно важливе значення.
У даному рефераті розглядається знаменитий метод Ньютона і його модифікації: методи помилкового положення, метод січних, метод Стеффенс, метод січних або метод помилкового положення.
1. Метод Ньютона
Одним з найбільш простих і швидких методів вирішення нелінійних рівнянь виду
f (x)=0 (1)
є метод Ньютона або метод дотичних, заснований на формулі Тейлора або формулою Лагранжа. Нехай функція f (x) двічі диференційовна на відрізку [a, b], що містить корінь x рівняння (1). Нехай x k? [a, b] відомий член послідовності наближень до? , Отриманий даним методом, починаючи з x 0. За формулою Тейлора для будь-якої точки x? [a, b] маємо
(2)
де точка qk лежить між точками x і xk. Для кореня x=x? [a, b] рівняння (1) за цією формулою отримуємо:
. (3)
Так як xk близько до x, то різниця x - xk по модулю досить мала, але тоді величина (x - xk) 2 буде ще менше і її можна відкинути. Далі вважаючи qk=xk отримаємо формулу,
, (4)
по якій будемо знаходити наступне наближення x k + 1 до кореня x
. (5)
Малюнок 1
Зауважимо, що x k + 1 абсциса точки перетину дотичної
проведеної до графіка функції y=f (x) в точці (xk, f (xk)).
Геометричний зміст методу Ньютона: наближення до кореня x рівняння (1) здійснюється по абсцис точок перетину дотичних до графіка функції y=f (x), що проводяться в точках відповідним попереднім наближенням.
Швидкість наближень послідовності (xk) до x випливає з наступної теореми.
Теорема 1. Нехай функція f (x) задовольняє умовам
. (6)
Тоді якщо члени послідовності (xk), яка визначається методом Ньютона належать відрізку [a, b] і ця послідовність сходиться на [a, b] до кореня x рівняння (1), то для будь-якого k? N справедливі нерівності:
. (7)
Доказ. Підставляючи в праву частину формули (3) замість нуля формулу (4) отримаємо рівність:
,
,
.
Переходячи до модулів, отримуємо перший формулу (7).
За формулою Тейлора маємо
.
Тоді з формули (4) отримаємо. Переходячи до модулів, маємо
. (8)
За формулою Лагранжа, де q лежить між точками x і xk. Так як f (x)=0, то маємо. Звідси отримуємо другу формулу (7).
Початкову точку x 0 в методі Ньютона необхідно вибирати виходячи з наступної теореми.
Теорема 2. Нехай на відрізку [a, b] функція f (x) має першу і другу похідні постійного знака і нехай f (a) f (b) lt; 0. Тоді якщо точка x 0 обрана на [a, b] так, що
