fy"> f (x 0) f (x 0) gt; 0, (9)
то починаючи з неї послідовність (xk), що визначається методом Ньютона, монотонно сходиться до кореня x? [a, b] рівняння (1).
У силу теореми (1) в методі Ньютона має місце квадратичний закон збіжності, при точної реалізації обчислювального процесу він дає подвоєння числа вірних знаків на кожній ітерації, дає високу точність при невеликому числі обчислень, забезпечує чисельну стійкість методу. Часто застосовують спрощене правило зупину:.
2. Модифікації методу Ньютона
Теореми 1 і 2 і формула (5) припускають, що похідна функції f (x) всередині відрізка [a, b] звертається до нуль. Якщо число x - кратний корінь рівняння (1) то f '(x)=0. Але ітераційний процес Ньютона сходиться, коли x кратний корінь рівняння (4), але збіжність лінійна. Якщо відомий m - показник кратності кореня x, то рекомендується вести обчислення за формулою:
. (10)
Таку модифікацію називають методом Ньютона-Шредера.
Для зменшення витрат, пов'язаних з обчисленням похідною обчислення можна вести за формулою:
. (11)
Таку модифікацію називають спрощеним методом Ньютона. Цей метод втрачає високу збіжність.
Замість похідної в формулі (5) беруть її наближене значення за формулою
.
Це призводить до так званого разностному методу Ньютона:
Малюнок 2
. (12)
Параметр hk зв'язується з номером ітерації.
Якщо взяти параметр hk=xk - 1 - xk, то отримаємо формулу
, (12)
де числа x 0 і x 1 повинні задаватися. Таку модифікацію називають двох кроковим методом Ньютона або методом січних.
Метод січних забезпечує за два кроки квадратичну збіжність, але гіршу збіжність, ніж метод Ньютона. Число x 1 вибирається близьким до числа x 0. Закінчення рахунки контролюють малістю модулів нев'язок | f (xk) |, або доповнень | xk - 1 - xk |.
Алгоритм знаходження кореня методом Ньютона.
Введення: Функція f (х), похідна f (х), точність обчислення e кореня, допуск d - мале число, пов'язане з реальною точністю обчислення f (х), f (х). Проміжок [a, b] існування кореня.
Висновок: корінь з рівняння.
c:=a; якщо f (c) * f (c) lt; 0, то c:=b;
. d:=c -f (c)/f '(c));
якщо | c - d | lt; e, то кінець
в іншому випадку обчислити f (c);
якщо | f (c) | lt; d, то кінець
йти до кроку 1.
Приклад. Методом Ньютона знайти корінь рівняння x 2 - sin x - 1=0 (точність 0,01) в інтервалі (1, p). Маємо f (х)=x 2 - sin x - 1, a=1, b=p »3,1416, e=0,01, d=0,001. Знаходимо f (х)=2x - cos x, f ' (х)=2 - sin x, c=b.
Таблиця 1
Шаг12345c3,14161,92381,50341,41411,4096f (c) 8,87001,76260,26260,0121-f '(c) 7,28324,19322,93962,6722 -
Корінь рівняння: x=1,41 ± 0,01.
3. Метод січних для нелінійного рівняння
У формулі
x (k + 1)=x (k) - f (x (k))/f '(x (k)), k=0, 1, 2, ...
методу Ньютона потрібно обчислювати похідну функції f (x), що не завжди зручно, а іноді практично неможливо. У методі січних похідна f '(x (k)) замінюється на дріб (так звану розділену різниця) (f (x (k)) - f (x (k - 1)))/(x (k) - x (k- 1)).
У результаті формула методу приймає вигляд:
x (k + 1)=x (k) - f (x (k)) (x (k) - x (k - 1))/(f (x (k)) -f (x (k - 1))), k=1, 2, (13)
де x (0), x (1) - деякі початкові наближення до кореня.
Геометричний зміст методу січних полягає в заміні на ітерації з номером k графіка функції y=f (х) на січну, що проходить через точки (x (k), f (x (k))) і ( x (k - 1), f (x (k - 1))) і, отже, задаваемую рівнянням
y=(f (x (k)) - f (x (k - 1))) (x - x (k))/(x (k) - x (k - 1) ) + f (x (k))
Далі знаходимо точку її перетину з віссю OX, що відповідає рішенню лінійного рівняння:
(f (x (k)) - f (x (k - 1))) (x - x (k))/(x (k) - x (k - 1)) + f (x (k))=0
Звідси отримуємо:
x=x (k) - f (x (k)) (x (k) - x (...
