Міністерство Науки та Освіти Республіки Казахстан
Євразійський Національний Університет імені Л.Н. Гумільова
Кафедра «Фундаментальною та прикладної математики»
Реферат
на тему: Застосування подвійного інтеграла
Виконали:
Кадеше О.,
Ткаченко А., ММФ, МКМ - 22.
Прийняла:
Абікенова Ш.К., к.ф.-м.н., ст.пр. кафедри
фундаментальної та прикладної інформатики
Астана, 2012
Зміст
подвійний інтеграл механіка
1. Подвійний інтеграл
. Додатки подвійних інтегралів до задач механіки
а) маса плоскої пластинки змінної щільності
б) статичні моменти і центр ваги пластинки
в) моменти інерції пластинки
. Обчислення площ і об'ємів за допомогою подвійних інтегралів
а) Обсяг
б) Обчислення площі плоскої області
. Обчислення площі поверхні
а) Приклади
1. Подвійний інтеграл
Поняття інтеграла може бути розширене на функції двох і більшого числа змінних. Розглянемо, наприклад, функцію двох змінних z=f ( x, y ). Подвійний інтеграл від функції f ( x, y ) позначається як
де R - область інтегрування в площині O xy . Якщо визначений інтеграл від функції однієї змінної f (x)? 0 висловлює площа під кривою f ( x ) в інтервалі від x= a до x=b , то подвійний інтеграл виражає обсяг під поверхнею z=f ( x, y ) вище верхнього O < i> xy в області інтегрування R (малюнок 1).
Ріс.1Ріс.2
Формально подвійний інтеграл можна ввести як межа суми Рімана . Нехай, для простоти, область інтегрування R являє собою прямокутник (малюнок 2). Використовуючи ряд чисел { x 0, x 1, ..., x m}, розіб'ємо відрізок [ a, b ] на малі інтервали таким чином, щоб виконувалася співвідношення
Аналогічно, нехай безліч чисел є розбиттям відрізка [ c, d ] уздовж осі O y , при якому справедливі нерівності
Сумою Рімана функції f ( x, y ) над розбиттям називається вираз
де - деяка точка в прямокутнику і.
Подвійний інтеграл від функції f ( x, y ) в прямокутній області визначається як межа суми Рімана, при якому максимальні значення? x i і? y j прагнуть до нуля:
Щоб визначити подвійний інтеграл в довільній області R , відмінної від прямокутної, виберемо прямокутник, що покриває область R (малюнок 3), і введемо функцію g ( x, y ), таку, що
Тоді подвійний інтеграл від функції f ( x, y ) у довільній області R визначається як
Ріс.3Ріс.4 Рис.5
2. Додатки подвійних інтегралів до задач механіки
а) Маса плоскої пластинки змінної щільності
Розглянемо тонку пластинку, розташовану на площині Оху і що займає область D . Товщину цієї платівки вважаємо настільки малої, що зміною щільності по товщині її можна знехтувати.
Поверхневою щільністю такий пластинки в даній точці називається границя відношення маси площадки до її площі за умови, що майданчик стягується до даній точці.
Визначена таким чином поверхнева щільність буде залежати тільки від положення даної точки, т. е. бути функцією її координат:
Рис.6.
Якби щільність була постійною (), то маса всієї платівки дорівнювала б, де S - площа пластинки. Знайдемо тепер масу неоднорідною пластинки, вважаючи, що її щільність є заданою функцією . Для цього розіб'ємо область, займану платівкою, на часткові області з площами (рис. 6). Вибираючи в кожної часткової області довільну точку, будемо вважати, що щільність у всіх точках ч...
