асткової області постійна і дорівнює щільності у вибраній крапці. Складемо наближене вираження для маси пластинки у вигляді інтегральної суми
(*)
Для точного вираження маси слід знайти межу суми (*) за умови і кожна часткова область стягується до точці. Тоді
б) Статичні моменти і центр ваги пластинки.
Перейдемо тепер до обчислення статичних моментів розглянутої пластинки щодо осей координат. Для цього зосередимо в точках маси відповідних часткових областей і знайдемо статичні моменти отриманої системи матеріальних точок:
Переходячи до межі при звичайних умовах і замінюючи інтегральні суми інтегралами, отримаємо
Знаходимо координати центру ваги: ??
Якщо пластинка однорідна, тобто то формули спрощуються:
де S - площа пластинки.
в) Моменти інерції пластинки
Моментом інерції матеріальної точки Р з масою m щодо якої-небудь осі називається добуток маси на квадрат відстані точки Р від цієї осі.
Метод складання виразів для моментів інерції пластинки відносно осей координат абсолютно такий же, який ми застосовували для обчислення статичних моментів. Наведемо тому тільки остаточні результати, вважаючи, що:
Відзначимо ще, що інтеграл називається відцентровим моментом інерції; він позначається.
У механіці часто розглядають полярний момент інерції точки, що дорівнює добутку маси точки на квадрат її відстані до даної точки - полюси. Полярний момент інерції пластинки відносно початку координат буде дорівнює
. Обчислення площ і об'ємів за допомогою подвійних інтегралів
а) Обсяг
Як ми знаємо, обсяг V тіла, обмеженого поверхнею , де - неотрицательная функція, площиною і циліндричною поверхнею, спрямовуючої для якої служить межа області D, а утворюють паралельні осі Oz, дорівнює подвійному інтегралу від функції по області D:
Приклад 1. Обчислити об'єм тіла, обмеженого поверхнями x=0, у=0, х + у + z=1, z =0 (рис. 7).
Рис.7 Рис.8
Рішення. D - заштрихована на рис. 7 трикутна область в площині Оху, обмежена прямими x=0, у=0, x + y=1. Розставляючи межі в подвійному інтегралі, обчислимо об'єм:
Отже, куб. одиниць.
Зауваження 1 . Якщо тіло, обсяг якого шукається, обмежено зверху поверхнею а знизу-поверхнею, причому проекцією обох поверхонь на площину Оху є область D, то обсяг V цього тіла дорівнює різниці обсягів двох циліндричних тіл; перше з цих циліндричних тіл має нижнім підставою область D , а верхнім - поверхня друге тіло має нижнім підставою також область D , а верхнім - поверхня (рис. 8).
Тому об'єм V дорівнює різниці двох подвійних інтегралів:
або
(1)
Легко, далі, довести, що формула (1) вірна не тільки в тому випадку, коли і невід'ємні, але й тоді, коли і - будь-які безперервні функції, що задовольняють співвідношенню
Зауваження 2 . Якщо в області D функція змінює знак, то розбиваємо область на дві частини: 1) область D1 де 2) область D2, де. Припустимо, що області D1 і D2 такі, що подвійні інтеграли по цих областях існують. Тоді інтеграл по області D1 буде позитивний і буде дорівнює обсягу тіла, що лежить вище площини Оху. Інтеграл по D2 буде негативний і за абсолютною величиною дорівнює обсягу тіла, що лежить нижче площини Оху, Отже, інтеграл по D буде виражати різниця відповідних обсягів.
б) Обчислення площі плоскої області
Якщо ми складемо інтегральну суму для функції по області D, то ця сума буде дорівнює площі S,
при будь-якому способі розбиття. Переходячи до межі в правій частині рівності, отримаємо
Виробляючи інтегрування в дужках, маємо, очевидно,
Приклад 2. Обчислити площу області, обмеженої кривими
Рис. 9
Рішення. Визначимо точки перетину даних кривих (Рис.9). У точці перетину ординати рівні, тобто , Звідси Ми отримали дві точки перетину
Отже, шукана площа
4. Обчислення площі поверхні
Нехай потрібно обчислити площу поверхні, обмеженої лінією Г (рис.20); поверхня задана рівнянням де функція неперервна і має безперервні приватні похідні. Позначимо проекцію лінії Г на площину Oxy через L. Область на площині Oxy, обмежену лінією L, позначимо D.
Розіб'ємо довільним чином область D на n елементарних майданчиків У кожному майданчику візьмемо точку Точці Pi буде відповідати на поверхні точка ...
