а перетинаються в одній точці, (центр вписаного кола, і центр).
Позначимо буквою О точку перетину бісектрис АА1 і ВВ1 трикутника АВС і проведемо з цієї точки перпендикуляри ОК, ОL і ОM відповідно до прямих АВ, ВР і СА. По теоремі (Кожна точка бісектриси неразвернутого кута рівновіддалена від його сторін. Зворотно: кожна точка, що лежить всередині кута і рівновіддалена від сторін кута, лежить на його бісектрисі) ми говоримо про те, що ОК=ОМ і ОК=OL. Тому OM=OL, т е точка O рівновіддалена від сторін АСВ і, значить лежить на бісектрисі СС1 цього кута. Отже, всі три бісектриси? АВС перетинаються в точці О, що потрібно було довести.
окружність бісектриса трикутник пряма
1.2 Властивості бісектриси трикутника
Бісектриса BD (рис. 1.1) будь-якого кута? ABC ділить протилежну сторону на частини AD і CD, пропорційні прилеглим сторонам трикутника.
Потрібно довести, що якщо ABD=DBC, то AD: DC=АВ: НД
Рис.1.1
Проведемо РЄ || BD до перетину в точці Е з продовженням боку АВ. Тоді, згідно теоремі про пропорційність відрізків, що утворюються на прямих, пересічених кількома паралельними прямими, матимемо пропорцію: AD: DC=АВ: BE. Щоб від цієї пропорції перейти до тієї, яку потрібно довести, достатньо виявити, що ВЕ=НД, т. Е. Що? ВСЕ рівнобедрений. У цьому трикутнику Е=ABD (як кути відповідні при паралельних прямих) і ВСЕ=DBC (як кути навхрест лежачі при тих же паралельних прямих).
Але ABD=DBC за умовою; значить, Е=ВСЕ, а тому рівні і сторони BE і НД, що лежать проти рівних кутів.
Тепер, замінивши в написаній вище пропорції BE на НД, отримаємо ту пропорцію, яку потрібно довести.
20 бісектриси внутрішнього і суміжного з ним кута трикутника перпендикулярні.
Рис. 1.2
Доказ. Нехай BD - бісектриса ABC (рис.1.2), а BE - бісектриса суміжного з зазначеним внутрішнім кутом зовнішнього CBF,? ABC. Тоді якщо позначити ABD=DBC =? , CBE=EBF =? , То 2? + 2? =1800 і, таким чином,? +? =900. А це і означає, що BD? BE.
30 Бісектриса зовнішнього кута трикутника ділить протилежну сторону зовнішнім чином на частини, пропорційні прилеглим сторонам.
Рис.1.3
(Рис.1.3) AB: BC=AD: DC,? AED ~? CBD, AE/BC=AD/DC=AE/BC.
40 Бісектриса будь-якого кута трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам трикутника.
Рис. 1.4
Доказ. Розглянемо? ABC. Нехай для визначеності бісектриса CAB перетинає сторону BC в точці D (рис.1.4). Покажемо, що BD: DC=AB: AC. Для цього проведемо через точку C пряму, паралельну прямій AB, і позначимо через E точку перетину цієї прямої AD. Тоді DAB=DEC, ABD=ECD і тому? DAB ~? DEC за першою ознакою подібності трикутників. Далі, так як промінь AD - бісектриса CAD, то CAE=EAB=AEC і, значить,? ECA рівнобедрений. Звідси AC=CE. Але в такому випадку з подоби? DAB і? DEC випливає, що BD: DC=AB: CE=AB: AC, а це і було потрібно довести.
Якщо бісектриса зовнішнього кута трикутника перетинає продовження боку, противолежащей вершині цього кута, то відрізки від отриманої точки перетину до кінців противолежащей боку пропорційні прилеглим сторонам трикутника.
Рис. 1.5
Доказ. Розглянемо? ABC. Нехай F - точка на продовженні сторони CA, D - точка перетину бісектриси зовнішнього BAF трикутника з продовженням боку CB (рис. 1.5). Покажемо, що DC: DB=AC: AB. Дійсно, проведемо через точку C пряму, паралельну прямій AB, і позначимо через E точку перетину цієї прямої з прямою DA. Тоді трикутник ADB ~? EDC і, значить, DC: DB=EC: AB. А оскільки? EAC =? BAD =? CEA, то в равнобедренном? CEA сторона AC=EC і, таким чином, DC: DB=AC: AB, що потрібно було довести.
. 3 Рішення задач на застосування властивостей бісектриси
Завдання 1. Нехай O - центр кола, вписаного в? ABC, CAB =?. Довести, що COB=900 +?/2.
Рис. 1.6
Рішення. Так як O - центр вписаного в? ABC кола (рис 1.6), то промені BO і CO - бісектриси ABC і BCA відповідно. А тоді COB=1800 - (OBC + BCO)=1800 - (ABC + BCA)/2=1800 - (1800 -?)/2=900 +?/2, що потрібно було довести.
Завдання 2. Нехай O - центр описаного близько? ABC окружності, H - основа висоти, проведеної до сторони BC. Довести, що бісектриса CAB є також і бісектрисою? OAH.
Рішення.
Рис. 1.7
Рис....
