е буде досягнуто збіг десяткових знаків, які необхідні у відповіді, або заданої точності e - до виконання нерівності | xi-xi - 1 | lt; e.
1.2 Алгоритм рішення задач за допомогою методу Ньютона
визначаємо інтервал (якщо він не заданий), якому належатиме корінь рівняння. Звуження інтервалу можна проводити методом половинного ділення.
знаходимо f? (x) і f? (x), причому f? (x)? 0 при x? [a; b], f? (x) і f? (x) повинні зберігати знак на відрізку [a; b]
вибираємо один з кінців відрізка [a, b] за x 0, виходячи з того, що повинно виконуватися така умова f (x 0)? f? (x 0) gt; 0.
- обчислюємо, поки не буде досягнуто збіг десяткових знаків, які необхідні у відповіді, або заданої точності e - до виконання нерівності | xi-xi - 1 | lt; e.
. 3 Приклади розв'язання рівнянь за допомогою методу Ньютона
Розглянемо застосування методу Ньютона на прикладах.
) Нехай нам дана функція f (x)=sin2x-lnx, якщо 1,3 lt; x lt; 1,5. Необхідно знайти корінь рівняння з точністю до 0,0001.
Знайдемо першу і другу похідні вихідної функції:
Таблиця 1
xf (x) 1,30,253137-1,470291,5-0,26435-0,12004
Так як, при x=1,5, то за x0, беремо x=1,5.
Таблиця 2
xf (x) xn-xn - 11,5-0,2643451-2,646651661,40012093-0,001798363-2,59883069-0,09987071,39942894-0,0000001988-2,59825545-0,000591991,39942887-0,00000000000000003-2,59825539-0,000000071,39942887
Так як, то на даному кроці можна зупиниться.
Відповідь:
) Вирішити рівняння с.
Так як нам не дано інтервал, якому належить корінь рівняння, то для локалізації коренів застосуємо графічний спосіб. Перетворимо вихідне рівняння до наступного еквівалентному увазі:
Рис. 2
Побудувавши графіки функцій і, визначаємо, що у рівняння має тільки один корінь, який знаходиться в інтервалі 0.4 lt; x lt; 0.6. На даному інтервалі дійсно містить корінь рівняння, тому
Уточнимо значення кореня з необхідною точністю, користуючись методом Ньютона.
Для коректного використання даного методу необхідно визначити поведінку першої та другої похідної функції на інтервалі уточнення кореня і правильно вибрати початкове наближення x0.
Для функції маємо:
і - позитивні у всій області визначення функції. В якості початкового наближення необхідно вибрати праву межу інтервалу x0=0.4, для якої виконується нерівність:
Таблиця 3 Результати обчислень
Номер ітерацііx0F (x0) F '(x0) Rxn-xn - 100,61,1079820869,6159640,11522319210,4847770,0833083628,2579560,010088255-0,11522320,4746890,0006901648,1532490,000084649-0,01008830,4746040,0000013688,1523790,000000168-0,000085
Так як, на третьому кроці, то подальші ітерації можна не проводити.
Відповідь:
2. Рішення систем нелінійних алгебраїчних рівнянь
На відміну від систем лінійних рівнянь для систем нелінійних рівнянь не відомі прямі методи рішення. Лише в окремих випадках систему можна вирішити безпосередньо. Наприклад, для системи з двох рівнянь іноді вдається висловити одне невідоме через інше і таким чином звести задачу до вирішення одного нелінійного рівняння відносно одного невідомого. Тому ітераційні методи для нелінійних систем набувають особливої ??актуальності.
Запишемо систему n нелінійних рівнянь з n невідомими в загальному вигляді:
Цю систему можна записати в компактній, операторної формі:
F (X)=0,
де - вектор-функція
- вектор невідомих
Рішенням системи називається набір значень, (вектор X *), при яких всі функції fi рівні 0.
Системи нелінійних рівнянь можуть мати єдине рішення, безліч рішень або взагалі не мати його. Тому чисельне рішення СНУ проводять у два етапи:
1 етап - відділення рішень.
2 етап - уточнення всіх або тільки потрібних рішень.
Відокремити рішення - значить встановити кількість рішень, визначити наближені значення кожного з них або вказати область, в якій рішення існує і є єдиним.
Для реалізації даного етапу використовуються графічні або аналітичні методи.
При аналітичному способі відділення коренів використовується наступна теорема: безперервна строго монотонна функція має і притому єдиний нуль на відрізку [a; b] тоді і тільки тоді, коли на його кінцях вона приймає значення різних знаків.
Достатнім ознакою монотонності функції f ...
