МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ
Учрежденіеобразованія
«Гомельський державний університет імені Франциска Скорини»
Математичний факультет
Кафедра диференціальних рівнянь і теорії функцій
Курсова робота
Нестаціонарне рівняння Риккати
Виконавець:
студентка групи М - 31 Шевченко О.В.
Гомель +2014
Зміст
Введення
§1. Рівняння ріккаті
§2. Відображає функція
§3. Відображає функція рівняння Риккати
§4. Побудова відбиває функції для одного стаціонарного рівняння Риккати
§5. Побудова раціональних рівнянь, які мають таку ж відображатиме функцію, як і деякий рівняння Риккати
Висновок
Список використаної літератури
Введення
Більшість диференціальних рівнянь не можна проінтегрувати не тільки в елементарних функціях, а й в квадратурах. Тому є необхідність дослідити властивість рішення диференціальних рівнянь безпосередньо по самому рівнянню. З цими цілями було розроблено багато методів. Одним з таких методів є метод відбиває функції.
У даній роботі для рівняння виду:
побудуємо відображатиме функцію.
§1. Рівняння ріккаті
.Загальна рівняння Риккати має вигляд:
, (1.1)
де P, Q, R-безперервні функції від xпрі зміні x в інтервалі Рівняння (1.1) містить в собі як окремі випадки вже розглянуті нами рівняння: при отримуємо лінійне рівняння, при -уравненіе Бернуллі.
рівняння ріккаті зберігає свій вигляд при наступних перетвореннях змінних.
1) Довільний перетворення незалежного змінного:
(-). У Насправді, виробляючи в рівнянні (1.1) цю заміну змінного, одержимо знову рівняння Риккати:
2) Довільний дрібно-лінійне перетворення залежної змінної:
де?,?,?,?- Довільні диференціюються отx, що задовольняють умові в розглянутому інтервалі. Справді, диференціюючи, отримуємо:
Підстановка ж в праву частину рівняння (1.1) дає дріб з тим же знаменником і з квадратним многочленом по в числители. Очевидно, виходить рівняння типу Риккати.
Цими перетвореннями можна скористатися для приведення рівняння до найбільш простого (канонічного) вигляду.
) Коефіцієнт при квадраті залежною змінною можна зробити рівним. Для цього в рівнянні (1.1) зробимо (лінійну) заміну шуканої функції:
де - поки невідома функція. Підставляючи в рівняння (1.1), отримуємо:
або
Якщо тепер взяти, то рівняння прийме вигляд:
(Заміна годитися для інтервалу зміни, в якому не звертається в нуль.)
) Не зраджуючи коефіцієнт при квадраті залежного змінного, можна коефіцієнт при першому ступені залежного змінного зробити рівним 0. Для цього рівняння введемо в рівняння (1.1) нове залежне змінне підстановкою:
Тоді перетворення рівняння буде:
Досить вибрати, щоб отримати коефіцієнт при рівним 0. Комбінуючи обидві підстановки, ми завжди можемо привести рівняння Риккати до вигляду:
(1.1)
. Як уже згадано, рішення рівняння Риккати зводиться, взагалі кажучи, до квадратури. Але має місце теорема:
Якщо відомо одне приватне рішення рівняння Риккати, повне рішення виходить двома квадратурами.
Справді, нехай відомо приватне рішення рівняння (1.1) є тобто ми маємо тотожне:
(1.2)
Робимо заміну залежної змінної:
де z - нова шукана функція, отримуємо:
або, в силу тотожності (1.2),
Вийшло рівняння Бернуллі, яке, як ми бачили, інтегрується двома квадратурами. Для приведення рівняння (2) до лінійного слід покласти, звідки; рівняння (лінійне) для u буде:
(1.3)
Його загальний інтеграл має вигляд:
де і - деякі функції від; звідси ми виводимо форму загального рішення рівняння (1.1):
Отже, загальний розв'язок рівняння Риккати є дробово-лінійна функція від довільної сталої.
Покажемо, що і назад, якщо загальний розв'язок рівняння є дробово-лінійна функція від довільної сталої, то відповідне диференціальне рівняння є рівняння Риккати. Дійсно, нехай спільне рішення диференціального рівняння є
дозволяємо й...
