ВСТУП
Початкові елементи математики пов'язані з появою навичок рахунки, що виникають у примітивній формі на порівняно ранніх щаблях розвитку людського суспільства в процесі трудової діяльності. Поняття натурального числа, що з'являється як результат поступового абстрагування, є основою всього подальшого розвитку математики.
Вивчення властивостей натуральних чисел, розпочате в примітивній формі математиками давно минулих поколінь, займає велике місце в сучасній математиці, складаючи основний зміст одного з її провідних розділів, який ми називаємо теорією чисел.
У теорії чисел, природно, виділяються і розглядаються в першу чергу ті проблеми, які глибоко і досить безпосередньо пов'язані з досліджуваними об'єктами і важливі для побудови математики в її цілому. Деякі теоретико-числові завдання виникають уже в рамках шкільного курсу арифметики. Історично теорія чисел виникла як безпосередній розвиток арифметики. В даний час в теорію чисел включають значно ширше коло питань, що виходять за рамки вивчення натуральних чисел. У теорії чисел розглядаються не тільки натуральні числа, а й безліч всіх цілих чисел, а також безліч раціональних чисел.
У безлічі комплексних чисел природно виділити так звані цілі алгебраїчні числа, що представляють собою корені многочленів виду з цілими коефіцієнтами.
Вивчення властивостей таких чисел становить зміст одного з найважливіших розділів сучасної теорії чисел, званого алгебраїчній теорією чисел. У теорію чисел включають також питання, пов'язані з наближенням дійсних чисел раціональними дробами. Такі наближення називають зазвичай діофантових наближеннями, на ім'я великого грецького математика Діофанта.
Для сучасної теорії чисел характерне застосування досить різноманітних методів досліджень; так, наприклад, багато проблем теорії чисел можуть бути, природно, сформульовані в геометричній формі, і до вирішення такого роду завдань застосовують геометричні міркування (геометрична теорія чисел). У сучасній теорії чисел широко користуються методами математичного аналізу; зокрема, при вивченні питань, пов'язаних з розподілом простих чисел, особливо часто доводиться застосовувати теорію функцій комплексного змінного. Теоретико-числові дослідження, в яких істотно використовуються методи математичного аналізу, є змістом досить значного розділу теорії чисел, який отримав найменування «Аналітична теорія чисел».
Розвиток теорії чисел тісно і безпосередньо пов'язано з розвитком цілого ряду розділів математики.
Теорія чисел не тільки широко використовує методи, розроблені в суміжних математичних дисциплінах, а й сама впливає на формування цих дисциплін. Так, наприклад, початок глибоких досліджень в теорії чисел алгебри було пов'язано з так званою проблемою Ферма про можливість існування цілих позитивних рішень невизначеного рівняння при п gt; 2; подальший розвиток цієї теорії зробило вирішальний вплив на сучасну алгебру, а виникли в теорії чисел поняття «кільця», «ідеалу» є одними з основних понять всієї математики нашого часу. Ряд питань теорії чисел знаходить собі застосування на практиці, наприклад в теорії телефонних мереж (кабелів), в кристалографії, при вирішенні деяких завдань теорії наближених обчислень. Сучасну теорію чисел можна в основному розбити на наступні розділи:
Елементарна теорія чисел (теорія порівнянь, теорія форм, невизначені рівняння). До цього розділу відносять питання теорії чисел, що є безпосереднім розвитком теорії подільності, і питання про представимости чисел в певній формі. Більш загальною є завдання вирішення систем невизначених рівнянь, т. Е. Рівнянь, в яких значення невідомих повинні бути обов'язково цілими числами. Невизначені рівняння називають також діофантових рівняннями, оскільки Діофант був першим математиком, систематично рассматривавшим такі рівняння. Ми умовно називаємо цей розділ «Елементарна теорія чисел», оскільки тут часто застосовуються звичайні арифметичні та алгебраїчні методи дослідження.
Алгебраїчна теорія чисел. До цього розділу відносять питання, пов'язані з вивченням різних класів алгебраїчних чисел,
Діофантові наближення. До цього розділу відносять питання, пов'язані з вивченням наближення дійсних чисел раціональними дробами. До Диофантова наближенням примикають тісно пов'язані з цим же колом ідей питання вивчення арифметичної природи різних класів чисел.
Аналітична теорія чисел. До цього розділу відносять питання теорії чисел, для вивчення яких доводиться застосовувати методи математичного аналізу.
Звичайно, поділ теорії чисел на такі розділи не є стандартним. Іноді виділяють як особливу частину теорії чисел геометричну теорію чисел або із загального кола питань теорії діофантових наближень виділяють теорію трансцендентних чисел. Треба, крім цього, мати на увазі, що часто доводиться мати справу з дослідженнями, які ...
