не можна обмежувати рамками одного певного розділу.
Метою даної курсової роботи є вивчення теми «Додаток теорії порівнянь при перевірці результатів арифметичних дій», вироблення навичок перевірки результатів виконання арифметичних дій, використовуючи порівняння.
1. ПОРІВНЯННЯ
1.1 Визначення порівняння
Теорія чисел має свою алгебру, відому, як теорія порівнянь. Звичайна алгебра спочатку розвивалася як стенографія для операцій арифметики. Аналогічно, порівняння являють собою символічну мову для подільності, основного поняття теорії чисел. Поняття порівняння вперше ввів Гаусс.
Перш ніж ми звернемося до поняття порівняння, зробимо одне зауваження про числах, які будемо вивчати в цій главі. Ми почали цю книгу, заявивши, що будемо розглядати цілі позитивні числа 1, 2, 3 ..., і в попередніх розділах ми обмежувалися тільки цими числами і додатковим числом 0. Але тепер ми досягли стадії, на якій доцільно розширити наші кордони, розглядаючи всі цілі числа:
, ± 1, ± 2, ± 3 ....
Це жодним чином не вплине на наші попередні поняття; далі, коли ми будемо говорити про простих числах, делителях, найбільших спільних делителях і тому подібному, ми будемо вважати їх цілими позитивними числами.
Тепер повернемося до мови порівнянь. Якщо а і b - два цілих числа і їх різниця а - b ділиться на число m, ми висловлюємо це записом
ab (mod m) (1.1.1)
яка читається так:
а порівнянно з b за модулем m.
Дільник m ми припускаємо позитивним; він називається модулем порівняння.
Наше висловлювання (1.1.1) означає, що- b=mk,
де k - ціле число. (1.1.2)
Приклади.
) 238 (mod 5), так як 23 - 8=15=53;
) 4711 (mod 9), так як 47-11=36=94;
) - 115 (mod 8), так як - 11- 5=- 16=8 (- 2);
) 810 (mod 27), так як 81 - 0=81=273.
Останній приклад показує, що взагалі, замість того, щоб говорити: число а ділиться на число m, ми можемо записати
0 (mod m),
так як це означає, що
а - 0=а=mk,
де k - деяке ціле число. Наприклад, замість того, щоб сказати, що а - парне число, ми можемо записати
0 (mod 2).
Таким же чином видно, що непарне число є числом, що задовольняє порівнянні
а 1 (mod 2).
Ця трохи дивна термінологія є досить звичайною для математичних робіт.
.2 Властивості порівнянь
Спосіб, яким ми записуємо порівняння, нагадує нам рівняння, і насправді, порівняння і алгебраїчні рівняння мають багато спільних властивостей. Найпростішими з них є три наступні властивості:
a (mod m); (1.2.1)
це є наслідком того, що
а - а=m - 0, b (mod m) означає, що і ba (mod m). (1.2.2)
Це випливає з того, що b - a=- (а - b)=m (-k).
З
а b (mod m) і b c (mod m) (1.2.3)
випливає, що АC (mod m), тому що перші два твердження означають, що
а - b=mk, b - с=ml,
тому
а - з=(а - b) + (b - с)=m (k + l).
Приклад. З того, що 1335 (mod 11) і 35- 9 (mod 11) випливає, що 13 - 9 (mod 11).
Ми говорили, що порівняння схожі за своїй властивості на рівності. Насправді, ми можемо розглядати рівності як тип порівняння, а саме, порівняння по модулю 0. За визначенням,
а b (mod 0)
означає, що
- b=0 k=0
або
а=b.
Ви майже ніколи не зустрінете таку форму порівняння для запису рівнянь в математичній літературі. Але існує інше порівняння, очевидно, досить тривіальне, яке іноді використовується. Коли модуль є число m=1, ми маємо, що
b (mod 1) (1.2.4)
для будь-якої пари цілих чисел а і b, оскільки це означає, що
- b=1 k=k (1.2.5)
є ціле число. Але припустимо тепер на мить, що а і b - довільні дійсні числа, необов'язково цілі. Тоді той факт, що вони порівнянні по модулю 1, означає, що їх різниця є ціле число, т. Е. Ці два числа мають однакову дробову частину.
Повернемося до властивостей звичайних порівнянь цілих чисел; з цього моменту ми будемо завжди вважати, що модуль є цілим числом т.
Ми можемо розділити числову вісь, починаючи від початку координат в обох напрямках на відрізки довжиною m, як на рис. 1. Тоді кожне ціле число а позитивне чи негативне, потрапляє на один з цих відрізків або на одну з точок поділу; таким чином, ми можемо записати
=km + r, (1.2.6)
де k - деяке ціле число, а r - одне з чисел
, 1, 2 ..., m - 1. (1.2.7)
Рис. 1.
Це є незначни...
