Квадратні корені
Введення
У ході вирішення деяких математичних задач доводиться оперувати з квадратними корінням. Тому важливо знати правила дій з квадратними коренями і навчитися перетворювати вирази, що їх містять. Мета - вивчення правил дій з квадратними коренями і способів перетворення виразів з квадратними коренями.
Ми знаємо, що деякі раціональні числа виражаються нескінченними періодичними десятковими дробами, як, наприклад, число 1/1998 = +0,000500500500 ... Але ніщо не заважає уявити і число, в десятковому розкладанні якого не виявиться ніякого періоду. Такі числа називаються ірраціональними. p> Історія ірраціональних чисел сходить до дивовижного відкриття піфагорійців ще в VI ст. до н. е.. А почалося все з простого, здавалося б, питання: яким числом виражається довжина діагоналі квадрата зі стороною 1?
Діагональ розбиває квадрат на 2 однакових прямокутних трикутника, в кожному з яких вона виконує роль гіпотенузи. Тому, як випливає з теореми Піфагора, довжина діагоналі квадрата дорівнює. Відразу ж виникає спокуса дістати мікрокалькулятор і натиснути клавішу вилучення квадратного кореня. На табло ми побачимо 1,4142135. Більш досконалий калькулятор, виконує обчислення з високою точністю покаже +1,414213562373. А за допомогою сучасного потужного комп'ютера можна обчислити з точністю до сотень, тисяч, мільйонів знаків після коми. Але навіть самий високопродуктивний комп'ютер, скільки б довго він не працював, ніколи не зможе ні розрахувати всі десяткові цифри, ні виявити в них будь-якої період.
І хоча у Піфагора та його учнів комп'ютера не було, обгрунтували цей факт саме вони. Піфагорійці довели, що у діагоналі квадрата і його сторони загальної міри (тобто такого відрізка, який ціле число разів відкладався б і на діагоналі, і на стороні) не існує. Отже, ставлення їх довжин - число - не можна виразити відношенням деяких цілих чисел m і n. А якщо це так, додамо ми, десяткове розкладання числа не може знайти ніякої регулярної закономірності. p> Слідами відкриття піфагорійців
Як довести, що число ірраціонально? Припустимо, існує раціональне число m/n =. Дріб m/n будемо вважати нескоротного, адже скоротні дріб завжди можна привести до нескоротного. Звівши обидві частини рівності, одержимо. Звідси укладаємо, що m - число парне, тобто m = 2К. Тому й, отже,, або. Але тоді отримаємо що і n парне число, а цього бути не може, оскільки дріб m/n нескоротний. Виникає протиріччя. p> Залишається зробити висновок, що наше припущення невірно і раціонального числа m/n, рівного не існує.
В В
1. Квадратний корінь з числа
В
Знаючи час t , можна знайти шлях при вільному падінні за формулою: Вирішимо зворотний завдання.
Задача . Скільки секунд буде падати камінь, скинутий з висоти 122,5 м?
Щоб знайти відповідь, потрібно вирішити рівняння З нього знаходимо, що Тепер залишилося знайти таке позитивне число t, що його квадрат дорівнює 25. Цим числом є 5, так як Значить, камінь буде падати 5 с. p> Шукати позитивне число за його квадрату доводиться і при вирішенні інших завдань, наприклад при знаходженні довжини сторони квадрата за його площі. Введемо наступне визначення.
Визначення . Невід'ємне число, квадрат якого дорівнює невід'ємні числа а, називається квадратним коренем з а. Це число позначають
Таким чином p> Приклад . Так як
В
З негативних чисел не можна витягувати квадратний корінь, так як квадрат будь-якого числа або позитивний, або дорівнює нулю. Наприклад, вираз не має числового значення. p> У записі знак називають знаком радикала (від латинського В«радіксВ» - корінь), а число а - подкоренное числом. Наприклад, у записі подкоренное число дорівнює 25. Так як Це означає, що квадратний корінь з числа, записаного одиницею і 2n нулями, дорівнює числу, записувала одиницею і n нулями:
= 10 ... 0
2n нулів n нулів
Аналогічно доводиться, що 2n нулів n нулів
Наприклад,
2. Обчислення квадратних коренів
В
Ми знаємо, що не існує раціонального числа, квадрат якого дорівнює 2. Це означає, що не може бути раціональним числом. Він є ірраціональним числом, тобто записується у вигляді неперіодичної нескінченної десяткового дробу, причому перші десяткові знаки цього дробу мають вид 1,414 ... Щоб знайти наступний десятковий знак, треба взяти число 1.414 х , де х може приймати значення 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, звести по порядком ці числа в квадрат і знайти таке значення х, при якому квадрат менше, ніж 2, але наступний за ним квадрат більше, ніж 2. Таким значенням є х = 2. Далі повторюємо ...
