Санкт-Петербурзький Державний Університет
Реферат
Ідентифікація параметрів осцилюючих процесів в живій природі, модельованих диференціальними рівняннями
Виконала студентка 312гр.
Варламова А.А.
Перевірив Токин И.Б
Санкт-Петербург
2007
Зміст
1. Ідентифікація параметрів в системах описуваних ОДУ
1.1 Градієнтні рівняння
1.2 Рівняння у варіаціях
1.3 Функціонали методу найменших квадратів
1.4 Чисельне рішення градієнтних рівнянь
1.4.1 Поліноміальні системи
1.4.2 Метод рядів Тейлора
1.4.3 Метод Рунге-Кутта
2. Моделі осцилюючих процесів у живій природі
2.1 Модель Лотки
2.1.1 осцилюючі хімічні реакції
2.1.2 Осциляція популяцій в системі "хижак-жертва"
2.2 Інші моделі
3. Ідентифікація параметрів моделі Лотки
3.1 Диференціальні рівняння
3.2 Постановки задачі ідентифікації і функціонали МНК
3.3 Як прискорити обчислення
3.4 Чисельний експеримент
4. Про інші методах ідентифікації
Література
1. Ідентифікація параметрів в системах, описуваних ОДУ
1.1 Градієнтні рівняння
Градієнтні рівняння виникають у зв'язку із завданням знаходження екстремумів функцій багатьох аргументів. Важливо, що ці аргументи самі можуть залежати від рішень якихось рівнянь - чисельних, диференціальних та інших. Ми будемо використовувати їх для мінімізації функцій аргументів, за-висять від рішень звичайних диференціальних рівнянь.
Розглянемо вещественнозначную функцію аргументу, і нехай і. Тоді величина
(1)
тобто похідна функції за напрямом характеризує швидкість зміни при зміні в напрямку вектора.
З формули (1) отримуємо:
(2)
де - градієнт функції, а це дає:
(3)
(4)
(5)
Таким чином, вектор є напрямом найшвидшого рос-та функції в точці, а вектор - це напрямок найшвидшого її убування в цій точці. p> градиентному кривої функції називають криву,, дотичне напрямок до якої в кожній точці протилежно напрямку вектора градієнта, тобто сов-падає з напрямком найшвидшого убування.
Це означає, що задовольняє диференціальному рівнянню:
(6)
або в координатної формі:
(7)
До рівнянь (6) або (7) додаємо початкові умови:
(+8)
або в координатної формі:
(9)
Рішення задачі Коші (6), (8) (або (7), (9)) визначає градієнтну криву проходить через точку. Будемо розглядати це рішення як століття-тор-функцію аргументів і.
Задамося тепер метою знайти точку локального мінімуму неотрицательной функції, якщо вона існує і досить близька до. Якщо за початкове наближення для взяти , То рух вздовж градієнтної кривої, що проходить через (тобто рух вздовж траєкторії рішення) можна вважати ідеальним шляхом до точці.
Якщо рішення задачі (6), (8) існує при, то при будь-якому та-ком отримуємо, що:
при (11)
при (12)
і ми вправі очікувати, що
(13)
Метод градієнтних рівнянь знаходження локального мінімуму функції полягає в чисельному інтегруванні задачі Коші (6), (8) уздовж осі до досягнення точки, досить близькою до.
1.2 Рівняння у варіаціях
В
Розглянемо задачу Коші:
(14)
(15)
де - параметри. Надалі ми розглянемо функціонали, залежні від параметрів через рішення задачі Коші (14), (15). Тоді градієнтні рівняння будуть залежати від похідних за рішення задачі (14), (15), і ми повинні вміти їх обчислювати. Диференціюючи рівняння (14), (15) за отримуємо, що функції
(16)
задовольняють наступної задачі Коші:
(17)
(18)
Рівняння (17) щодо похідних (16) називають рівняннями у варіаціях для рівнянь (14).
1.3 Функціонали методу найменших квадратів
В
Ми не можемо розглянути тут все різноманіття функціоналів методу найменших квадратів і обмежимося одним досить загальним функціоналом. Він відповідає наступної задачі: модель деякого процесу описується завданням Коші (14), (15) (такі моделі, зокрема, досить поширені в біологічної кінетики), дано вимірювання
, (19)
тобто дано наближень для значень величин в моменти часу, і потрібно знайти параметри на основі заданого початкового наближення.
У методі найменших квадратів знаходження (ідентифікації) параметрів розглядають функціонал
(20)
де - фіксовані вагові коефіцієнти, а - зн...
