Міністерство освіти і науки
Наукове Суспільство Учнів
Секція В«АлгебраВ»
Робота по темі:
В«Діофантови рівняння В»
Виконала:
учениця 10 В«АВ» класу МОУ СЗШ № 43
Булавіна Тетяна
Науковий Керівник: Пєстова
Надія Іванівна
Нижній новгород 2010
Зміст
Введення
Про діофантових рівняннях
Способи рішення діофантових рівнянь
Список літератури
В
Введення
Я вибрала тему: В«Діофантови рівнянняВ» тому, що мене зацікавило, як зароджувалася арифметика. p> Діофант Олександрійський (3 століття)-грецький математик. Його книгу В«АрифметикаВ» вивчали математики всіх поколінь. p> Надзвичайний розквіт давньогрецької науки в IV-III ст. до н. е.. змінився до початку нової ери поступовим спадом у зв'язку з завоюванням Греції Римом, а потім і почався розкладанням Римської імперії. Але на тлі цього згасання ще спалахує яскравий факел. У 3-му столітті нової ери з'являється твір олександрійського математика Діофанта В«АрифметикаВ». Про життя самого Діофанта нам відомо тільки з вірша, що міститься в В«Палатинской антології В». У цій антології містилося 48 завдань у віршах, зібраних грецьким поетом і математиком VI ст. Метродора. Серед них були завдання про басейн, про короні Герона, про життєвий шлях Діофанта. Остання оформлена у вигляді епітафії - надгробної написи.
Прах Діофанта гробниця покоит: дивуйся їй - і камінь
Мудрим мистецтвом його скаже покійного століття.
Волею богів шосту частину життя він прожив дитиною
І половину шостий зустрів з пушком на щоках.
Тільки минула сьома, З подругою він заручився.
З нею п'ять, років провівши, сина дочекався мудрець.
Тільки півжиття батьковій коханий син його прожив.
відібранням він був у батька ранньої могилою своєї.
Двічі два роки батько оплакував тяжке горе.
Тут і побачив межа життя сумної своєї.
Звідси неважко підрахувати, що Діофант прожив 84 роки. p> Трактат В«АрифметикаВ» займає особливе місце в античної матіматіке не тільки за часом своєї появи, а й за змістом. Велику частину його складають різноманітні завдання з теорії чисел і їх рішення. Але, головне, автор використовує не геометричний підхід, як це було прийнято у стародавніх греків,-рішення Діофанта передбачають алгебраїчні та теоретико- числові методи. На жаль, з 13 книг, що складали В«АрифметикуВ», до нас дійшли лише перші 6, а решта загинули в перипетіях тодішнього бурхливого часу. Досить сказати, що через 100 років після смерті Діофанта була спалена знаменита олександрійська бібліотека, що містила безцінні скарби давньогрецької науки.
Про діофантових рівняннях.
Завдання диофантова В«АрифметикиВ» вирішуються за допомогою рівнянь, проблеми рішення уравнеій скоріше відносяться до алгебри, ніж до арифметиці. Чому ж тоді ми говоримо, що ці рівняння відносяться до арифметичним? Справа в тому, що ці завдання мають специфічні особливості. p> перше, вони зводяться до рівнянь або до системам рівнянь з цілими коефіцієнтами. Як правило, ці системи невизначені, тобто число рівнянь в них менше числа невідомих.
друге, рішення потрібно знайти тільки цілі, часто натуральні.
Для виділення таких рішень з усього нескінченного їх безлічі доводиться користуватися властивостями цілих чисел, а це вже належить до області аріфметікі.Дадім визначення діофантових рівнянь.
Діофантови рівняння-алгебраїчні рівняння або системи алгебраїчних рівнянь з цілими коефіцієнтами, для яких треба знайти цілі або раціональні рішення. При цьому число неізвесно в рівняннях більше числа рівнянь. Жоден великий математик не пройшов повз теорії діофантових рівнянь.
Давайте розглянемо сучасну простеньку задачу.
За купівлю потрібно сплатити 1700 р. У покупця маються купюри тільки по 200р. і по 500 р. Якими способами він може розплатитися? Для відповіді на це питання досить вирішити рівняння 2x + 5y = 17 з двома невідомими x і y. Такі рівняння мають нескінченну безліч рішень. Зокрема, отриманому рівнянню відповідає будь-яка пара чисел вигляду (x, 17-2x/5). Але для цієї практичної задачі годяться тільки цілі невід'ємні значення x і y. Тому приходимо до такої постановки завдання: знайти всі цілі невід'ємні рішення рівняння 2x +5 y = 17. Відповідь містить вже не нескінченно багато, авсего лише дві пари чисел (1, 3) і (6, 1). Діофант сам знаходив рішення своїх завдань. Ось кілька задач із його В«АрифметикиВ». p> 1. Знайти два числа так, щоб їх твір знаходилося в заданому відношенні до їх суми.
2. Знайти три квадрата так, щоб сума їх квадратів теж була квадратом.
3. Знайти два числа так, щоб їх твір робилося кубом як при додаванні, так і при відніманні їх суми.
4. Для числа 1...
