ЗМІСТ:
Рівняння з одним невідомим
В
Рівняння першого ступеня з двома невідомими
В
Приклади рівнянь другого ступеня з трьома невідомими
В
Загальний випадок рівняння другого ступеня з двома невідомими
В
Р А З Р А Б Про Т К А П Р О Г Р А М М
Програма № 1 (рівняння з одним невідомим)
В В В В В
ВСТУП
Мій курсовий проект присвячений одному з найцікавіших розділів теорії чисел - рішенням рівнянь в цілих числах.
Рішення в цілих числах алгебраїчних рівнянь з цілими коефіцієнтами більш ніж з одним невідомим являє собою одну з найважчих проблем теорії чисел. p> Проблема рішення рівнянь у цілих числах вирішена до кінця тільки для рівнянь другого ступеня з двома невідомими. Зазначимо, що для рівнянь будь-якого ступеня з одним невідомим вона не представляє скільки-небудь істотного інтересу, так як ця задача може бути вирішена за допомогою кінцевого числа проб. Для рівнянь вище другого ступеня з двома або більше невідомими вельми важка не тільки завдання знаходження всіх рішень в цілих числах, але навіть і більш просте завдання встановлення існування кінцевого або нескінченного безлічі таких рішень.
У своєму проекті я постаралася викласти деякі основні результати, отримані в теорії; рішення рівнянь у цілих числах. Теореми, що формулюються в ньому, забезпечені доказами в тих випадках, коли ці докази досить прості.
1. Рівняння з однією змінною
Розглянемо рівняння першого ступеня з одним невідомим
В
(1)
Нехай коефіцієнти рівняння іВ - Цілі числа. Ясно, що рішення цього рівняння
В
буде цілим числом тільки в тому випадку, коли без остачі ділиться на. Таким чином, рівняння (1) не завжди вирішуване в цілих числах; так, наприклад, з двох рівнянь і перше має ціле рішення, а друге в цілих числах нерозв'язно.
З тим же обставиною ми зустрічаємося і в разі рівнянь, ступінь яких вище першій: квадратне рівняння має цілі рішення,; рівняння в цілих числах нерозв'язно, так як його корінняВ , Ірраціональні. p> Питання про знаходження цілих коренів рівняння n-го ступеня з цілими коефіцієнтами
В
(2)
вирішується легко. Дійсно, нехай - цілий корінь цього рівняння. Тоді
,
.
З останнього рівності видно, що ділиться без залишку; отже, кожен цілий корінь рівняння (2) є дільником вільного ч...
