Лабораторна робота
Рішення алгебраїчних і трансцендентних рівнянь
Завдання. Для кожного рівняння відокремити коріння
а) Табулювання;
б) графічно.
. Уточнити один корінь одного з рівнянь з точністю e=0.01 методами половинного ділення і простих ітерацій, а так само одним з таких методів (за вказівкою викладача):
а) хорд
б) дотичних
в) січних
Рішення: а) графічно;
Щоб відокремити корені рівняння графічним методом, необхідно побудувати графік функції і подивитися, в яких точках графік перетинає вісь х. Ці точки будуть корінням рівняння.
На графіку видно, що корінь рівняння знаходиться на інтервалі (1; 2)
На цьому графіку видно що На графіку видно, що корені рівняння знаходиться на інтервалах (- 3; - 2), (- 1; 0), (0; 1), (1; 2).
Для подальшого відокремлення коренів необхідно скористатися методом табулирования.
Метод половинного ділення
У цьому методі обчислюється значення функції шляхом підстановки деякого значення, зміщується при кожній ітерації на певний крок (не більше), в рівняння. Надалі будується таблиця, за допомогою якої можна визначити інтервали залягання кореня.
За алгоритмом представленому вище ми можемо знайти інтервали, на яких знаходяться корені рівняння.
Для функції
xF(x)1-0,411,1-0,311,2-0,211,3-0,101,40,021,50,151,60,281,70,421,80,571,90,7120,86
З таблиці ми бачимо, що корінь рівняння залягає на інтервалі [1,3; 1,4].
Для функції
- 328-1-12011-4-2,914,7083-0,9-9,66770,10,88431,1-3,8037-2,83,5088-0,8-7,49920,20,55681,2-3,1472-2,7-5,7797-0,7-5,53170,30,05231,3-1,9237-2,6-13,331-0,6-3,79520,4-0,58721,4-0,0192-2,5-19,313-0,5-2,31250,5-1,31251,52,6875-2,4-23,883-0,4-1,09920,6-2,06721,66,3248-2,3-27,196-0,3-0,16370,7-2,78771,711,0283-2,2-29,395-0,20,49280,8-3,40321,816,9408-2,1-30,62-0,10,87630,9-3,83571,924,2123-2-31011-4233
З цих таблиць бачимо що коріння залягають на інтервалах [- 2,8;- 2,9], [- 0,3;- 0,2], [0.3; 0,4], [1,4;- 1,5]. (Для уточнення узятий інтервал [- 0,3; - 0,2])
Перший спосіб уточнення кореня рівняння - метод половинного ділення (дихотомії). Для цього слід розділити відрізок [a, b] навпіл точкою. Можливі два випадки: або f (x) змінює знак на відрізку [a, c], або на відрізку [c, b]. Вибираючи в кожному випадку той відрізок, на якому функція змінює знак, і, продовжуючи процес половинного ділення далі, можна дійти до як завгодно малого відрізка, що містить корінь рівняння. Скористаємося методом половинного ділення за допомогою даного алгоритму:
За допомогою методу половинного ділення корінь був уточнений для рівняння
до значення.
Метод ітерацій
Другий спосіб уточнення кореня рівняння - метод простих ітерацій (ПІ).
Для цього методу необхідно висловити з початкового рівняння генеруюче ставлення виду. Для рівняння було отримано генеруючі ставлення виду.
Для того щоб метод простих ітерацій виконувався, що генерує співвідношення має задовольняти умові, де х належить інтервалу, на якому знаходиться корінь.
Продифференцируем вираз
Для перевірки застосовності методу візьмемо значення х, яке знаходиться посередині інтервалу [1,3; 1,4], тобто х=1.35.
- 1.4
Так як умова не виконується, то метод в даному випадку не застосовний, але якби він був би застосовний то корінь був би уточнений за допомогою цього варіанту:
Для подальшого уточнення кореня скористаємося методом дотичних.
Метод дотичних
Для уточнення коренів методом дотичних необхідно взяти початкове наближення поблизу предположительного кореня, після чого побудувати дотичну до досліджуваної функції в точці наближення, для якої знаходиться перетин з віссю абсцис. Цю точку необхідно взяти в якості наступного наближення. І так далі, поки не буде досягнута необхідна точність.
У якості виступає рівняння а в якості - її похідна. Реалізація методу дотичних п...
