3 = 2 ВІ +3 ВІ знайти два інших, сума квадратів яких дорівнює 13.
Наведемо диофантово рішення останнього завдання. Він вважає перше число (позначимо його через А) рівним x +2, а друге число B рівним 2x-3, вказуючи, що коефіцієнт перед x можна взяти й інший. Вирішуючи рівняння
(x +2) ВІ + (kx-3) ВІ = 13, br/>
Діофант знаходить x = 8/5, звідки A = 18/5, B = 1/5. Скористаємося зазначенням Діофанта і візьмемо довільний коефіцієнт перед x в вираженні для B. Нехай знову А = x +2, а В = kx-3, тоді з рівняння
(x +2) ВІ + (kx-3) ВІ = 13 p> x = 2 (3k-2)/k ВІ +1. br/>
Звідси
А = 2 (k ВІ +3 k-1)/k ВІ +1, p> В = 3k ВІ-4k-3/k ВІ +1.
Тепер стають зрозумілими міркування Діофанта. Він вводить дуже зручну підстановку А = x +2, В = 2x-3, яка з урахуванням умови 2 ВІ +3 ВІ = 13 дозволяє знизити ступінь квадратного рівняння. Можна було б з тим же успіхом в якості У взяти 2x +3, але тоді виходять негативні значення для В, чого Діофант не допускав. Очевидно, k = 2 - найменше натуральне число, при якому А і В додатні.
Дослідження Дііфантових рівнянь зазвичай пов'язано з великими труднощами. Більше того, можна вказати многочлен F (x, y1, y2 , ..., Yn) c цілими коефіцієнтами такий, що не існує алгоритму, що дозволяє з будь-якого цілого числа x дізнаватися, вирішуване чи рівняння F (X, y1, y2, ..., yn) = 0 щодо y1, ..., y. Приклади таких многочленів можна виписати явно. Для них неможливо дати вичерпного опису рішень. p> Сучасної постановкою діофантових завдань ми зобов'язані Ферма. Саме він поставив перед європейськими математиками питання про рішенні невизначених рівнянь тільки в цілих числах. Треба сказати, що це не було винаходом Ферма - він тільки відродив інтерес до пошуку цілочисельних рішень. А взагалі завдання, що допускають тільки цілі рішення, були поширені в багатьох країнах в дуже далекі від нас времена.В нинішньої математиці існує цілий напрямок, що займається дослідженнями діофантових рівнянь, пошуком способів їх решеній.Називается воно диофантова аналізом і диофантова геометрією, оскільки використовує геометричні способи доказів. p> Найпростіше діофантових рівнянь ax + by = 1, де a і b - цілісні взаімопростие числа, має нескінченно багато рішень (якщо x0 і y0-рішення, те числа x = x0 + bn, y = y0-an, де n-будь-яке ціле, теж будуть рішеннями).
Іншим прикладом Діофантових рівнянь є
x 2 + у 2 = z 2 . (5)
Це Диофантово рівняння 2-го ступеня. Зараз ми займемося пошуком його рішень. Зручно записувати їх у вигляді трійок чисел (x, y, z). Вони називаються піфагорових трійками. Взагалі кажучи, рівняння (5) задовольняє нескінченну безліч рішень. Але нас будуть цікавити тільки натуральні. Цілі, позитивні вирішення цього рівняння представляють довжини катетів х, у і гіпотенузи z прямокутних трикутників з цілочисельними довжинами боків і називаються піфагорових < числами. Наше завдання полягає в тому, щоб знайти всі трійки піфагорових чисел. Зауважимо, що якщо два числа з такої трійки мають загальний дільник, то на нього ділиться і третє число. Поділивши їх все на загальний дільник, знову отримаємо піфагороау трійку. Значить від будь пифагоровой трійки можна перейти до іншої пифагоровой трійці, числа якої попарно взаємо прості. Таку трійку називають примітивною. Очевидно, для поставленої нами задачі достатньо знайти загальний вигляд примітивність піфагорових трійок. Ясно, що в примітивній пифагоровой трійці два цифри не можуть бути парними, але в той же час всі три числа не можуть бути непарними одночасно. Залишається один варіант: два числа непарні, а одне парне. Покажемо, що z не може бути парним числом. Припустимо гидке: z = 2m, тоді x і y-непарні числа. x = 2k +1, y = 2t +1. У цьому випадку сума x ВІ + y ВІ = 4 (k ВІ + k + t ВІ + t) +2 НЕ ділиться на 4, в той час як z ВІ = 4m ВІ ділиться на 4. Отже, парних числом є чи x, або y. Нехай x = 2u, y і z-непарні числа. Позначимо z + y = 2v, z-y = 2w. Числа v і w взаємно прості. Насправді, якщо б вони мали загальний дільник d> 1, то він був би дільником і для z = w + v, і для y = vw, що суперечить взаємної простоті y і z. Крім того, v і w різної парності: інакше б y і z були б парними. З рівності x ВІ = (z + y) (zy) випливає, що u ВІ = vw. Оскільки v і w взаємно прості, а їх твір є квадратом, то кожен з множників є квадратом. Значить знайдуться такі натуральні числа p і q, що v = p ВІ, w = q ВІ. Очевидно, числа p і q взаємно прості і мають різну парність. Тепер маємо
z = p ВІ + q ВІ, y = p ВІ-q ВІ,
звідки br/>
x ВІ = (p ВІ + q ВІ) ВІ - (p ВІ-q ВІ) ВІ = 4 p ВІ q ВІ. br/>
У результаті ми довели, що для будь примітивної пифагоровой трійки (x, y, z) знайдуться взаємо прості натуральні числа p і q різної парності, p> q, такі, що
х = 2pq, у = p ВІ-q ВІ, z = p ...
