План
Введення
1 Поняття математичного аналізу. Історичний нарис
2 Вклад Л. Ейлера в розвиток математичного аналізу
3 Подальший розвиток математичного аналізу
Висновок
Список літератури
Введення
Л. Ейлер - найпродуктивніший математик в історії, автор більш ніж 800 робіт з математичного аналізу, диференціальної геометрії, теорії чисел, наближених обчислень, небесній механіці, математичної фізики, оптиці, балістики, кораблебудування, теорії музики та ін Багато його роботи мали значний вплив на розвиток науки. p> Майже півжиття Ейлер провів у Росії, де енергійно допомагав створювати російську науку. У 1726 році він був запрошений працювати в Санкт-Петербург. У 1731-1741 і починаючи з 1766 був академіком Петербурзької Академії Наук (в 1741-1766 роках працював у Берліні, залишаючись почесним членом Петербурзької Академії). Добре знав російську мову, частину своїх творів (особливо підручники) публікував російською. Перші російські академіки з математики (С. К. Котельников), і з астрономії (С. Я. Румовскій) були учнями Ейлера. Деякі з його нащадків досі живуть в Росії. p> Л. Ейлер вніс дуже великий внесок у розвиток математичного аналізу.
Мета реферату - вивчити історію розвитку математичного аналізу в XVIII столітті.
1 Поняття математичного аналізу. Історичний нарис
Математичний аналіз - сукупність розділів математики <# "1.files/image001.gif">,
що досягає екстремальних значень в точках перегину <# "1.files/image002.gif">. У виразах це число використовується поряд з натуральними числами. Напр., вважається допустимим такий вираз для експоненти
,
в якому лише пізні автори бачили граничний перехід. З аналітичними виразами проводилися різноманітні перетворення, що дозволили Ейлера знайти подання для елементарних функцій у вигляді рядів, нескінченних творів і т. д. Ейлер перетворює вирази для рахунки так, як це роблять в алгебрі, не звертаючи уваги на можливість обчислити значення функції в точці по кожній з написаних формул.
На відміну від Лопиталя Ейлер докладно розглядає трансцендентні функції і особливо два найбільш вивчені їх класи - показові та тригонометричні. Він виявляє, що всі елементарні функції можуть бути виражені за допомогою арифметичних дій і двох операцій - взяття логарифма та експоненти.
Сам хід докази прекрасно демонструє техніку використання нескінченно великого. Визначивши синус і косинус за допомогою тригонометричного кола, Ейлер виводить з формул додавання наступне:
В
а звідси
В
Вважаючи і z = nx, він отримує
,
відкидаючи нескінченно малі величини більшого порядку. Використовуючи це і аналогічне вираз, Ейлер отримує і свою знамениту формулу
. br/>
Вказавши різні вирази для функцій, які тепер називають елементарними, Ейлер переходить до розгляду кривих на площині, накресленим вільним рухом руки. На його думку, не для всякої такої кривої можна відшукати єдине аналітичне вираз. У XIX столітті з подачі Казораті це твердження вважалося помилковим: по теоремі Вейєрштрасса всяка безперервна в сучасному сенсі крива може бути наближено описана поліномами. Насправді Ейлера це чи переконало, адже потрібно ще переписати граничний перехід за допомогою символу.
Виклад диференціального числення Ейлер починає з теорії кінцевих різниць, за ним у третьому розділі слід філософське роз'яснення про те, що В«нескінченно малу кількість є точно нуль В», більш за все не влаштувало сучасників Ейлера. Потім з кінцевих різниць при нескінченно малому збільшенні утворюються диференціали, а з інтерполяційної формулу Ньютона <# "1.files/image009.gif">, яке, проте, розглядається як відношення двох нескінченно малих. Останні глави присвячені наближеному обчисленню за допомогою рядів.
У тритомній інтегральному численні Ейлер трактує поняття інтеграла так:
В«Та функція, диференціал якої = Xdx, називається його інтегралом і позначається знаком S, поставленим спереду В». p> У цілому ж ця частина трактату Ейлера присвячена більш загальної з сучасної точки зору задачі про інтегрування диференціальних рівнянь. При цьому Ейлер знаходить ряд інтегралів і диференціальних рівнянь, які призводять до нових функцій, напр., О“-функції, еліптичні функції і т. д. Суворе доказ їхньої Неелементарні було дано в 1830-х роках Якобі <# "1.files/image010.gif">,
коефіцієнти якого будуть новими функціями x. Залишається назвати p похідної (диференціальним коефіцієнтом) і позначити його як f '(x). Таким чином, поняття похідної вводиться на другій сторінці трактату і без допомоги нескінченно малих. Залишається зауважити, що
,
тому коефіцієнт q є подвоєною похідної похідної f (x), тобто
і т. д. [24] <# "1.files/image013.gif">
...
