льного простору, при цьому функція називається ядром інтегрального перетворення.
Більшість інтегральних перетворень є оборотними, тобто за відомим зображенню можна відновити оригінал, часто також інтегральним перетворенням:
(2)
Хоча властивості інтегральних перетворень достатньо обширні, у них досить багато спільного. p> перетворення зміщений многочлен числення
1. Многочлени Лежандра
Багаточлени Лежандра - многочлен, який в найменшій ступеня відхиляється від нуля в сенсі середнього квадратичного. Утворює ортогональну систему многочленів, на відрізку в міру Лебега. Многочлени Лежандра можуть бути отримані з многочленів ортогоналізації Грама - Шмідта. p> Названі по імені французького математика Адрієн Марі Лежандра. p> Багаточлени Лежандра визначаються за формулою (званої формулою Родріга)
(3)
часто записується у вигляді:
(4)
Багаточлени Лежандра також визначаються за такими формулами:
В В
, якщо;
, якщо.
Вони також можуть бути обчислені за рекурентних формулою:
В
Перші многочлени Лежандра рівні:
В В В В В В В В В В В
2. Багаточлени Чебишева
Багаточлени Чебишева - дві послідовності многочленів T n ( x ) і U n ( x ), названі на честь Пафнутія Львовича Чебишева.
Многочлени Чебишева відіграють важливу роль в теорії наближень, оскільки коріння многочленів Чебишева першого роду використовуються в якості вузлів у інтерполяції алгебраїчними многочленами.
Многочлен Чебишева першого роду T n ( x ) характеризується як багаточлен ступеня n зі старшим коефіцієнтом 2 n - 1 , який найменше відхиляється від нуля на інтервалі [- 1,1]. Вперше розглянуто самим Чебишевим. p> Багаточлени Чебишева першого роду T n ( x ) можуть бути визначені за допомогою рекурентного співвідношення:
В В В
Багаточлени Чебишева першого роду можуть бути також визначені за допомогою рівності:
В
або, що майже еквівалентно,
В
Кілька перших многочленів Чебишева першого роду
В В В В В В В В В В
Багаточлени Чебишева володіють наступними властивостями:
Ортогональность по відношенню до відповідних скалярному твору (з вагою для многочленів першого роду і для многочленів другого роду).
Серед всіх многочленів, значення яких на відрізку [- 1,1] не перевищують по модулю 1, многочлен Чебишева має: найбільший старший коефіцієнт найбільшу значення в будь-якій точці за межами [- 1,1] якщо, то, де t k - коефіцієнт многочлена Чебишева першого роду, a k - коефіцієнт будь-якого з розглянутих поліномів.
Нулі поліномів Чебишева є оптимальними вузлами в різних інтерполяційних схемах. Наприклад, у методі дискретних особливостей, який часто використовується при дослідженні інтегральних рівнянь в електродинаміки і аеродинаміці.
3.
4. Перетворення Лапласа
Перетворення Лапласа - інтегральне перетворення, зв'язує функцію комплексної змінної (зображення) з функцією дійсного змінного (оригінал). З його допомогою досліджуються властивості динамічних систем і вирішуються диференціальні та інтегральні рівняння.
Однією з особливостей перетворення Лапласа, які зумовили його широке поширення в наукових та інженерних розрахунках, є те, що багатьом співвідношенням і операціям над оригіналами відповідають простіші співвідношення над їх зображеннями. Так, згортка двох функцій зводиться в просторі зображень до операції множення, а лінійні диференціальні рівняння стають алгебраїчними.
Інтеграл Лапласа має вигляд:
(5)
В
де інтегрування проводиться по деякому контуру L в площині комплексного змінного z, що ставить у відповідність функції f (z), визначеної на L, аналітичну функцію F (p) комплексної змінної p = s + it. Багато інтеграли виду (5) були розглянуті П. Лапласом.
У вузькому сенсі під перетворенням Лапласа увазі одностороннє перетворення Лапласа
, (6)
зване так на відміну від двостороннього перетворення Лапласа
(7)
Перетворення Лапласа - приватний вид інтегральних перетворень;. перетворення виду (6) або (7) тісно пов'язані з Фур'є перетворенням . Двостороння перетворення Лапласа (7) можна розглядати як перетворення Фур'є функції , Одностороннє перетворення Лапласа (6) - як перетворення Фур'є функції j (t) рівною при 0
Підінтегральна комплексна локально сумовною функція f (t) називається функцією-ориг...
