інтегральні характеристики векторна полів
В
1. Диференціальні Операції іншого порядку
Нехай в области задані скалярнийполе и векторне поле, причому Функції мают в области неперервні частинні похідні іншого порядку. Тоді и є діференційовнімі векторна полями, а - діференційовнім скалярним полем.
до векторного полів и можна застосуваті Операції обчислення дівергенції и ротора, а до скалярного поля - операцію обчислення градієнта. Таким чином, отрімуємо повторні Операції:
.
Операцію назівають оператором Лапласа и позначають такоже символом:
.
З помощью оператора Гамільтона оператор Лапласа запісується у вігляді
.
ВРАХОВУЮЧИ, что
,
дістаємо
.
Функція, яка задовольняє в деякій области рівняння Лапласа, назівається гармонічною в Цій области. Наприклад, лінійна функція є гармонічною в довільній области. Оператор Лапласа широко застосовується в рівняннях математичної фізики. Відзначімо, зокрема, что Потенціал електричного поля точкового заряду або поля тяжіння точкової масі, Який має вигляд, при задовольняє рівняння Лапласа:
В
(потенціальне Векторне поле є безвіхровім) i
В
(векторне поле є соленоїдальнім).
1. Дві Другие повторні Операції и пов'язані співвідношенням
, (1)
де - вектор-функція, координатами Якої є результати! застосування оператора Лапласа до функцій.
2. Розкладання векторного поля на суму потенціального и соленоїдального полів
Довільне неперервно діференційовне векторна поле может буті зображено у вігляді
, (2)
де - потенціальне поле, - соленоїдальне полі.
Дійсно, за Означена потенціальне векторне поле є градієнтом Деяк скалярного поля:. Тому для вектора Із рівності (2) маємо
. (3)
Щоб векторне поле Було соленоїдальнім, воно має задовольняті умову, звідсі, ВРАХОВУЮЧИ Рівність (3), знаходимо
.
Таким чином, для скалярного потенціала поля отрімуємо рівняння
, (4)
де - відома функція даного поля.
Отже, ЯКЩО функція є розв'язком рівняння (4), то, поклал, , Отрімаємо зображення поля у вігляді (2), де - потенціальне поле, - соленоїдальне полі.
Рівняння (2) - неоднорідне рівняння в Частинами похідніх іншого порядку, Яку назівається рівнянням Пуассона:
.
Відзначімо, то багато рівняння має (нескінченну) множини розв'язків, тому зображення поля у вігляді (2) не є Єдиним.
2. Потік векторного поля
Розглянемо Векторне поле, визначене в просторовій области, и Деяк кусково-гладку орієнтовну поверхню. Нехай - поле одінічніх нормалей на обраній стороні поверхні.
Як було відзначено в п. 4.2, Поверхнево інтеграл
(5)
назівається потоком векторного поля через Поверхня в бік, яка візначається вектором (кажуть такоже В«Потік через вибраному | бік поверхніВ»).
Если взяти іншу сторону поверхні (Изменить орієнтацію), то вектор змініть Напрям на протилежних; того Скалярним добуток, а отже, и Потік (Поверхнево інтеграл (5)) змініть знак. p> Если - ШВИДКІСТЬ рухомої Рідини, то є кількістю (об'ємом) Рідини, яка протікає через поверхню у напрямі нормалі за одиницю годині. Ця величина назівається у фізіці (гідродінаміці) потоком Рідини через поверхню. Тому и у випадка довільного векторного поля інтеграл (5) назівається потоком векторного поля через поверхню. p> Розглянемо електричне поле точкового заряду, Який містіться в точці. Знайдемо Потік векторного поля через зовнішню сторону СФЕРИ радіуса з центром у точці. Нехай ( - Точка на сфере); тоді. Тому
,
де - діелектрічна пронікність середовища,.
Если в Системі координат, а, то вирази (5) для потоку векторного поля можна записатися у вігляді
. (6)
Коженая доданок у правій частіні рівності (6) поклади від Вибори системи координат, протікання їх сума, тоб Потік, вочевидь, не залежиться від Вибори системи координат.
3. Формула Остроградського-Гаусса в векторній ФОРМІ
Нехай в области Визначи векторна поле; - Замкнена поверхню, яка обмежує область; - одінічній вектор зовнішньої нормалі до поверхні у точці.
Нехай, далі, та їхні частинні похідні неперервні в области. Тоді справедлива формула Остроградського-Гаусса:
. (7)
Підінтегральна функція в потрійному інтегралі є, а Поверхнево інтеграл - Потік векторного поля через поверхню. Тому формулу (7) можна записатися у векторній ФОРМІ:
. (8)
Фізичний Зміст формули Остроградського-Гаусса: Потік векторного поля через замкненому поверхні в бік зовнішн...
